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传染病和互联网上热点内容传播背后的数学模型

由冠状病毒引起的疾病 COVID-19 的爆发迅速成为每个人的新闻：人们几乎只在社交媒体和所有其他媒体平台上谈论大流行，我们的生活受到各种防疫政策的极大影响。人们不断讨论和更新疫情进展的消息，关注确诊病例的数量，甚至担心未来会如何演变和发展。总之，除了客观上存在的病毒之外，还有这样一个病毒时刻，这与信息的快速广泛传播有关，也与随之而来的主观意识有关。

这个事实让我们回到了类似的情况：病毒在人与人之间的不断传播，与互联网上热门内容的爆炸式增长非常相似，比如 上的推文、 上的视频、模因或 帖子等等。给这种风靡全网的内容贴上形容词标签——“病毒爆发”，这并不是偶然的，但其中有一定的流行病学背景。

模因（也称为中介）是将想法、行为或风格从一个人传播给另一个人的过程。

因此，了解调节病毒传播和网络流行的常见机制是很有趣的：数学是这种探索中一个重要而基本的工具！

许多学者已经开发了有用的数学模型来描述和预测这种流行病现象的传播趋势和趋势。

这些模型是如何构建的？其实，最重要的是通过统计分析：通过计算大规模收集的关于感染进展的数据，做出关于相应机制的假设，然后通过后续观察，可以确认、改进或修改它们。特别是，一个好的模型必须能够以一种很好的方式缩小模型估计值和实际值之间的差距，以重现一个地区疾病病例的时间序列。

▲ 著名数学家丹尼尔·伯努利（1700-1782），约翰·伯努利之子，是伯努利家族的代表人物之一。

从历史上看，法国数学家丹尼尔·伯努利 （ ） 是最早尝试这项数学研究的人之一，他试图对天花的传播进行定量描述。18 世纪中叶左右，天花是一种传染性很强的疾病，主要通过空气传播。当时，它几乎是世界上最严重的区域性传染病。在欧洲，它曾经是导致死亡的主要原因——每年有 400,000 人死亡。在法国，它还导致无数人死亡，甚至在太阳王路易十四的王室成员中也是如此。

在他 1760 年的论文《天花死亡率的新分析和对预防性疫苗接种优势的探究》中，伯努利提出了一个基于感染人数指数级增长的数学模型，在此基础上他证明了疫苗接种对这种疾病非常有效。

的研究非常具有前瞻性，在 （ ） 推出天花疫苗之前近 40 年就已经发表。

目前，流行病数学描述的参考范式是苏格兰科学家 O. （1898-1970） 和 G. （1876-1943） 于 1927 年提出的模型。

▲ W 在他们的文章“A to the of ”中，两位研究人员观察到，要了解传染的动态，人群可以分为三种流行病学类型：

1. 易感人群：指尚未感染但可能被感染的个体

2. 感染人群（英文，用 I 表示）：是指那些被感染且具有传染性的个体群体

3. 康复人群（英文，用 R 表示）：是指那些被感染但不再具有传染性，并且由于已被治愈或已经死亡或被隔离而不再具有传染性的个体

并意识到在大多数流行病中，一个人只能从 1 型过渡到 2 型，或者从 2 型过渡到 3 型，并且不可能从 3 型恢复到 2 型（假设被治愈的人对疾病有免疫力）。

两位科学家发表的特定模型基于一个微分方程组，该系统可以预测上述三种流行病学类型的数量随时间变化的趋势：S（t）、I（t） e R（t）。

它阿尔

弗雷德·洛特卡 （ Lotka） 和维托·沃尔泰拉 （Vito） 推出非常著名的模型后不久，模型就出来了，这绝非偶然。前两个还通过微分方程组描述了生态系统的动态，其中两种动物物种，即捕食者及其猎物相互作用。

更一般地说，受 和 的思想启发，基于 S、I 和 R 三种流行病学分类的流行病学数学模型称为 SIR 模型。当然，也有不同类型的模型：例如，如果疾病不涉及免疫接种（例如感冒），并且没有理由存在 R 型，那么正在讨论 SI 模型。

SIR 模型的主要目标是预测流行病的演变并估计将感染该疾病的人口比例。如果存在某些假设，则可以使用 SIR 模型，如下所示：

很容易直觉地感觉到，与现实中的实际情况相比，这些假设非常简单。例如，冠状病毒引起的 COVID-19 的潜伏期为 14 天，治愈后的免疫力尚未得到证实，更不用说假设 A 和假设 B 是不现实的，至少显然是这样。另一方面，在建模过程中，很自然地会从描述现象的关键要素开始，从而忽略一些被认为是次要的细节：有点像在确定弹道轨迹时忽略与空气的摩擦阻力，因为这对计算来说不是很重要。

基于上述假设，SIR 模型的动力学非常简单。在流行病开始时，易感人群（即尚未感染的个体）会因传染而逐渐减少，而感染人数会因同样的原因而增加。随着感染人数的增加，易感个体更容易被感染，因此感染者的增长从一开始就趋于加速。（伯努利虽然从不同的假设出发，但也预测了该指数的趋势）。

然而，在某些时候，一些人会开始从感染组转移到治愈组，因为在此期间，他们被治愈和康复，或者他们死亡，或者他们被隔离。从这一点开始，所有的分析都徘徊在这两个转变之间的差异上：只要感染人数超过移民人数（移民人数 = 治愈人数 + 死亡人数 + 隔离人数），疫情就会处于上升阶段，但当移民人数开始占上风时，就会处于下降阶段。一个事实是肯定的：易感人群的数量总是在减少，而移民的数量总是在增加。

▲ 基于 SIR 模型的流行病典型趋势

上图是 SIR 中呈现的流行病可能趋势的图表：您会立即注意到感染人数呈上升阶段，达到峰值，然后是下降阶段。同时，易感者的数量总是减少，而治愈的数量总是增加。

现在，让我们花点时间回到互联网上疯传的类比：人们可以快速理解并可以应用于此场景的想法。

假设有人今天发布了一条可能会传播开来的推文。

在发布时，与模因的 “病毒传染 ”潜力相比，整个在线社交人群世界都属于易感类别，因为还没有人见过这个模因，但将来可能会。渐渐地，当人们发现这个模因并转发和分享它时，他们从易感人群变成了感染人群：事实上，他们成为病毒式内容的“受害者”（转发者），也就是说，他们对它充满热情并积极传播给他人。随着时间的推移，总会有越来越多的人不再对这些内容感兴趣，并停止传播它，过渡到 “治愈”。

▲ 《礼服》图片

2015 年，一张因视错觉而风靡一时的服装图片开始在平台上疯传，引发了公众的质疑：“这件衣服是白色和金色的吗？还是蓝色和黑色？”

这张图片很快就在网上疯传：在短短 48 小时内，该帖子获得了 400,000 次互动;在接下来的几天里，成千上万的人看到了这张照片并在主要社交网络上分享了它。

上面的 “of #” 图以简化的方式反映了被称为 “The Dress” 的在线流行现象是如何在其病毒式效果中呈现的：同样在这种情况下，它也分为三类，即：

▲ “The dress” 现象的病毒式狂潮

此时出现的问题是多方面的。能够将传染性社会行为定义为流行病传播，从而以上图中描述的“病毒式”传播的形式传播病毒的必要前提是什么？还有哪些其他趋势可能会改变？如今，冠状病毒引起的恐慌反映了什么样的动态？这些都取决于表征传染性的一些基本参数：在下一篇文章中，我们将探讨它们是什么，并找出 SIR 模型的可能动态。