杨振宁教授深度解析：数学与物理的奇妙关系，究竟如何相互促进发展？

一、有关数学的两则「笑话」

20世纪80年代初期的时候，杨振宁曾经在韩语汉城进行物理学方面的演讲之际讲过，有那么如此两类数学书，这样划分的第一种是，看过首道页面以后就丝毫不存在想要继续看下去的意愿了，而第二种则是，哪怕仅仅看了首个自然段之起始的那一句话之后，便再也没有了想要接着往后读下去之类的兴趣态度，那件事的具体情形讲完之后，当时便引发了物理学家们那极为响亮的哄堂大笑，这件事情的发生其实是有着相应缘由的，在1969年的那年时间段，杨振宁有所察觉物理范畴之内的规范场理论和数学领域之中那纤维丛理论之间或许是存在着某种关联关系的，于是就把著名拓扑学家所著的那本名为「The of Fibre 纤维丛的拓扑)」的书籍拿过来进行阅读，最终的结果却是在其中一无所获，什么都没有得到 。其缘由在于，这本书从开头到结尾，全都是以定义、定理、推论这种形式呈现的纯粹抽象演绎，生动且活泼的实际背景被淹没在了形式逻辑的汪洋大海里，让人们摸不着头脑。

汉城演讲提及的那句话，原本是即兴开的玩笑，是不能当真的，岂料没过多久，被「 」给捅了出来，被公开于众人。在数学领域，当然会有一些人表示反对，他们觉得数学书本来就该是那样的。然而，杨振宁先生讲「我相信会有诸多数学家支持我，毕竟数学要让更多的人去欣赏、去领略，才能够产生更为显著的效果。」 这之间呈现出不同的观点与看法。

我觉得，杨振宁身为当代物理学家里，是那种特别喜好数学，且大量运用数学的少数物理学者当中的一个。要是连他都对某些数学著作的表达方式颇有怨言，那更何况其他的物理学家呢？进一步讲，更别说生物学家、经济学家、一般的社会科学家以及读者了。

还有一则笑话，能在波兰裔美国数学名家S.M.Ulam所著的自传「一个数学家的遭遇( of a ) 」里读到。这本书的294页上写着：杨振宁，荣获诺贝尔物理学奖的人，讲了一个关于当下数学家和物理学家之间不同思考方式的故事，故事为：一天晚上，一帮人来到了一个小镇。他们有好多衣服需要去洗，所以就在满大街去找洗衣房。忽然间他们看到一扇窗户上有标记写着：『这里是洗衣房』。一个人，高声发问，说道：”我们能够把衣服留在这儿给你洗吗？“窗内的老板，做出回答，说道：”不，我们并不洗衣服。“来人再次询问，说道：”你们窗户之上不是写着是洗衣房吗？“老板再次进行回答，说道：”我们是做洗衣房标记的，不洗衣服。“这很有点类似数学家。数学家们仅仅做普遍适配的标记，然而物理学家却创造出了数目众多的数学。

有一则深刻的寓言是杨振宁教授的故事。数学圈外的人对数学家们那种“只做标记，不洗衣服”的做法持不赞成态度。数学家Ulam引了杨振宁的“笑话”后提问，信息论是工程师C.创立的，纯粹数学家为何不早就建立起来。他感叹着说，现今的数学和19世纪的数学全然不同，甚至百分之九十九的数学家不懂物理。然而存在许许多多的物理概念，需要数学的灵感、新的数学公式和新的数学观念。

二、理论物理的「猜」和数学的「证」

1995年12月，杨振宁先生收到了来自复旦大学校长杨福家的信件，信中邀请杨振宁于1996年5月前往复旦，进行「杨武之讲座」的首次演讲。杨武之教授乃是杨振宁的父亲，同时也是中国数学领域的前辈人物，早年曾担任清华大学数学系系主任长达多年，五十年代之后便在复旦大学担任教授一职。因此，杨振宁愉快地应允了这一邀请。然而，他无法像杨福家校长所期望的那般进行20次演讲，仅打算演讲三次。顺着这个话题，杨振宁先生又谈及了理论物理与数学之间的一些关系。

杨先生讲，理论物理的工作是进行“猜”，数学注重的是“证”。理论物理的研究事宜是去提出“猜想”，去构思物质世界是何种结构，暂且不论是否契合现实，只要能自圆其说，便能够予以发表。一旦“猜想”被实验所证实，此猜想就会转变为真理。要是被实验推翻，所发表的论文就毫无价值（当然失败乃成功之母，这是另外一层含义了）。数学并非如此，已发表的数学论文只要无错，总归是有价值的。原因在于那并非是猜测得出的，而是有着逻辑的证明 。逻辑证明了的结果, 总有一定的客观真理性。」

如此这般，数学的结果能够讲述极为漫长的时段，其结果以及获取这些结果的进程均相当关键。高斯给出了代数学基本定理的五种证明途径，每一种证明途径都具备讲述的价值。倘若使丘成桐从起始去讲述卡拉比猜想的证明过程，他必定会有20讲的内容。然而要是让我来讲“宇称不守恒”当初是如何构思而来的，我讲不了太多话语。因为在当时我们的认知便是朝着否定宇称守恒的方向去思量，“猜测”不守恒是正确的。依据是存在一些的，可无法确定。究竟对不对，得依靠实验。

杨先生在最后表述道，理论物理的工作中存在好多情况是在做没有实际价值的功，处于一个并非正确的假定条件下去反复猜测探究，进而产生了大量的文章。然而最终它们的结果全部都是错误的。这和数学不一样，数学领域中除去个别出现错误的情况以外，大部分内容都是正确的，是能够站得住脚，可以成立的。

杨先生讲的这番话语，致使我忆起不久之前Quine与Jaffe所撰写的一篇文章，该文章发表于1993年8月号的of AMS，曾经引发了颇为巨大的轰动。那篇文章的主题乃是询问「猜测数学是不是允许存在呢？」。其中有所提及，物理学已然存在着分工，理论物理进行「猜测」，实验物理开展「证明」。然而数学却是没有这般分工的。作为一个数学家，既要提出猜想，又要在同一时间完成证明。能像希尔伯特那般的大人物方可提出23个问题，其猜想能够成为一篇篇幅较长的文章，除此之外，普通的数学家最多也就是在文章的末尾之处略微提及一些猜想，以此来增添读者的兴趣，然而，以纯粹的数学猜想作为主体内容的文章，是没有地方可以发表的。所以，两位作者提议准许“理论数学”，也就是“猜测数学”的存在。

如此这般，当下存在着两种彼此对立的看法。其一，在物理学界，诸如杨振宁先生那般，认为理论物理的研究太过自由，随意揣测都能成为论文，觉得数学还算比较不错的。其二，而在数学界，像Quine和Jaffe那样，觉得当前数学研究对于每个结论都必须证明的要求，实在太过于束缚人的思维了。应当准许人们尽情地大胆猜测，允许有依据但尚未完全证实的数学结论予以发表。二者究竟谁对谁错，看起来需要一种平衡。大量的问题，关联到哲学以及社会学的层面，这靠简单的三言两语，是没办法予以解决的了。

三、复数、四元数的物理意义

虚数i等于p减1的出现能够追溯到15世纪的时候求解三次方程，不过到18世纪的欧拉那个时代，依旧把它称作「想象的数」。数学界正式接纳它要到19世纪，经过Gauss等人的打拼，凭借出色好用的复变量函数论获得历史地位。至于在物理学范畴，一直觉得能够进行测量的物理量仅仅是实数，复数是不存在现实意义的。尽管在19世纪，电工学里大量运用复数，存在复数的动势，复值的电流，可那仅仅是为了计算的简便。就算没有复数，也能够算出来，只是会麻烦一点罢了。计算得出的最终结果一直都是实数，并未承认现实中存在真的具有「复数」形态的电流。基于此，杨振宁先生讲，直至本世纪初，状况依旧没什么变化。一个例子是创立量子电动力学的薛定谔()。1926年初，经考证，他好像已然得到我们如今熟悉的方程 。

其当中有着虚数单位i，属于复函数的范畴，然而最终一直都是求取实部，薛定谔鉴于其中存在虚数从而对(1)感到不满意，竭力想要找出不含有复数的基本方程，于是他把上式两边进行求导之后予以化简，进而得了一个不存在虚数的繁杂的高阶微分方程。

1926年6月6日那天，薛定谔在写给洛兰兹的一封篇幅较长的信里面，觉得那个不含有复数的方程（2），“或许是一个具有普遍性的波动方程。”彼时，薛定谔正致力于消除复数。然而，待到同年6月23日，薛定谔意识到这样做是行不通的。在论文里，他首次提出：“是时空的复函数，并且要满足复时变方程（1）。”还把（1）称作真正的波动方程，。其内在的原由是，用于描写量子行为的波函数，它不仅仅有振幅的大小，而且还有相位，这二者相互发生联系从而构成一个整体，所以量子力学的方程非得使用复数才可以。另外一个例子是，H.Weyl在1918年所发展的规范理论，被拒绝予以接受，同样是因为没有对相因子进行考虑，仅仅是在实数的范围之内去处理问题。后来经由Fock和用加入虚数i的量子力学予以修改，Weyl的理论这才又再度复活。20，数学传播21卷2期，民86年6月，牛顿力学里的量统统都是实数量，然而到量子力学时，那就得运用复数量 。杨振宁与米尔斯于1954年提出非交换规范场论，恰恰是留意到了这一情况，方才会将Weyl规范理论里的相因子拓展到李群中的元素，达成了一项具有历史性的变革 。1959年，和Bohm设计了一个实验，显示向量势跟数量势相同，在量子力学当中都是能够测量的，突破了「可测的物理量必定是实数」的框框 。这一回的实验是挺困难的，最终是由日本的那谁及其同事，在1982年以及1986年的时候先后给完成了。如此一来，物理学当中的可测量终于延伸到了复数那里。

让我感到惊异的是，杨振宁教授做出了预言，其表示下一个目标会是四元数涉足物理学领域。自1843年爱尔兰的物理学家兼数学家发现四元数后，他自己耗费了后半辈子的时间，尝试将四元数系统，如同复数系统那般广泛地应用于数学以及物理学范畴，去开创四元数的世纪。然而结果却令人失望。有人曾评价这是「爱尔兰的悲剧」。直至如今，一个大学数学系的毕业生或许根本就不清楚有四元数这一事物，至多也仅仅是把它当作非交换代数的一个范例罢了。我还记得，1986年的春天，钱学森在写给中国数学会理事长王元的一封信里，曾提议要多去学习计算器方面的知识，还把研究「四元数解析」（这是复变函数论的一种推广）的这项工作贬低为「就如同上一个世纪」的事物。总而言之，我跟众多数学工作者是一样的看法，觉得四元数的发现，仅仅是「抽象的数学产物」，不会存在什么太大的用处的。

杨振宁跟我阐述了他的观念，讲的是物理学离不开对称，除了几何对称之外，还有代数对称哟，看看那四元数$a+bi+cj+dk$，它的基本单位符合$i^2=j^2=k^2=−1$，而且$ij=k$，$jk=i$，$ki=j$以及$ij=−ji$，$jk=−kj$，$ki=−ik$，像这样对称方面所具有的特征在物理学里常常能遇到呢。且听好，问题在于，这般的四元数对称未曾切实用于物体现象，并且物体现象里的一些对称也尚未寻觅到压根的数学缘由。近来呀，丘成桐等人所写的文章讲着：「一九七七那年我发表的一篇文章— of Self- for SU(2) gauge on ，推进了代数几何中稳定丛的解析处理的理论。我还没向数学家打听询问，完全不清楚这究竟怎么一回事。诸多工作，包含运用四元数阐释的物理理论，或许便会在这种交流当中逐渐呈现露真颜的」。

杨振宁先生还讲，说到把复变函数论形式上推广到四元数解析理论，鉴于四元数乘积具有非交换性，导数没办法唯一确定，故而不会有什么让人满意的结果产生。当下也存在物理学家撰写成著作，运用四元数去描述现有的物理定律，可根本没引发什么关注。未来要用四元数表达的物理定律，必定会是一组非线性微分方程组，其解的对称性一定要用四元数来做表示。所以，杨先生深信：「爱尔兰的悲剧是会变成喜剧的」。

四、「双叶」比喻

数学跟物理学二者之间的关系，那应当是相当紧密的。于数学系范畴之外的各类课程当中，物理系所开设的数学课在数量以及深度方面都是最为突出的。“物理学朝着公理化、数学化转变”，这在过去的一段时期内可是众多学识渊博之人所竞相追逐的目标。然而呢，善于将数学运用到物理领域的杨振宁教授却认定二者之间存在着极大的差异，他拥有一个形象的“双叶”比方，以此来阐释数学与物理学之间的关系，具体情形如下所示之图。他觉得数学跟物理学仿若一对呈现“对生”状态的树叶，它们仅仅在基部位置存在着极小的公共区域，而大部分区域都是彼此相互分离的。杨振宁先生作出解释，称它们存在各自不一样的目标，以及价值判断准则，并且有着不同的传统，在其基础概念部分，令人感到吃惊地分享有若干共同的概念，即便这样，每个学科依旧按照自身的脉络在发展。

标题为，与杨振宁教授展开漫谈，所涉内容是数学与物理的关系，其源自《数学传播》 。