所有正整数到正无穷大的总和等于 -1/12？

全部都是正数

将是负面的

最近有个很火的话题：1到正无穷的正整数之和是否等于-1/12？相信大多数人都会想“这怎么可能？答案应该是正无穷，怎么会有负数呢？”

我这个超模邪魅一笑（我以为自己很帅气了），作为一个专门科普数学的18级网红，今天就给大家讲一下这个知识点。

令人惊讶的等式

第一期告诉我们，()系列等于1/2。

第二期的结论似乎更令人震惊：所有自然数的和等于-1/12！

相信很多人看完视频之后第一反应肯定是：怎么可能？那！

视频中甚至用《》这本书作为证据，告诉我们这个公式的结论确实在物理相关领域有着广泛的应用。

同时，这本书看起来也不像是某位民间科学家在家里修修补补的作品，所以我们可以将我们的态度从鄙视提升到半信半疑。

现在，我们就从头回顾一下，看看这其中到底隐藏着什么样的数学秘密。

看似简单，却易于理解的推导

首先是系列S1：

这个过程很简单。接下来是所有自然数的总和，这可能稍微复杂一些：

证明分为两步，第一步，求一个中间级数S2的值。

第二步就是我们需要的结果：

简直无可挑剔！

非民间科学家的批评

超模君表示：虽然这是一个连小学生都能看懂的证明，但初中文化程度的人已经能感觉到证明中的尴尬。如果你是一个上过微积分课的大学生，你一定能指出视频中证明中一个巨大的bug：

在无穷级数中，只有绝对收敛的级数才可以重新排列项而不改变收敛值。换句话说，对于不绝对收敛的无穷级数，求和的顺序不能任意改变！这就是黎曼（）级数定理，又称黎曼重排定理。

视频中的证明过程充满民间科学，从S1=1/2的证明开始，一直任意改变级数求和的顺序，并且使用一些看似高明的“移项变号”、“位移减法”技巧，才得到看似正确、令人信服的结果。

不幸的是，从严格的数学角度来看，上述所有证明都是完全无效的。

确实，各大论坛上关于这个问题最常见的论据就到此为止：格兰迪级数是发散级数，不能求和。从 S1=1/2 开始，所有论据都是错误的，不需要读完。

看上去就像是一群外国傻瓜在忽悠愚蠢的欧洲人，可惜传到中国后，中国学生的数学功底远远超出了那些英国人的想象，一眼就看穿了真相。业余科学家再一次被我们用敏锐的眼睛揭穿，一切都只是笑话。

然而，这真的是结束吗？这些英国家伙真的只是无聊吗？视频里的托尼似乎是一位英国诺丁汉大学的物理学家。天啊，这么大的事情难道只是为了开玩笑吗？如果错了，这个公式为何会在物理学上产生深远的影响和应用呢？

我们应该更加冷静地思考，这个公式的背后到底是什么。

我们要求什么？

其实就好比在中学的时候，老师为了给学生解释为什么圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一，干脆把一个圆锥容器装满三次水，再把水装到一个等底等高的圆柱容器里。中学老师不会真的告诉你如何计算多重积分，Tony 也不会真的告诉你所有自然数之和的数学背景。这些看似漏洞百出，其实只是为了向你展示这个结论的存在，而不是一个严格的证明。

为了弄清问题的根源，我们首先应该明白一个基本问题：我们在寻求什么？

这似乎又是一个言辞争辩的问题，但如果这只是为了定义细节的文字游戏，那我就没有必要写这些了。

是的，我们追求的是“和谐”，答案是显而易见的。但是，“和谐”这个概念是怎么来的呢？

当将有限数量的数字相加时，“总和”是确定且明确的——您将得到的数额加起来就是多少。

但是一旦加数的个数变得无限大时，我们就很难直接挑出我们要求的“和”，而是需要借助极限的思想来近似我们的“和”。

在大多数人接触的传统数学中，无穷级数的和近似于级数前 n 项的和。换句话说，对于一个级数：

我们对其前 n 个项目求和并得到一个序列 {An}，其中：

如果序列 {An} 收敛于 A，则为该级数前 n 项之和。

那么我们称该级数的和为 A。

上面我们给出了对级数求和的严格方法：用级数的前n项的和来近似其真实值。这样得到的和就是所谓的柯西（）和。

我们有理由相信用柯西和法求出的“和”是正确且严谨的，但我们有什么理由相信没有其他同样正确且严谨的方法来求无穷级数的“和”呢？

意大利数学家 Cesàro 提出了另一种求无穷级数和的方法，也用极限来近似，但 Cesàro 用前 n 项部分和的平均值来实现这一点。Cesàro 定义了一个新级数 {Cn}，其中：

如果序列 {Cn} 收敛到 C，则为该序列前 n 个部分和的平均值。

那么我们称该级数的和为C。

可以证明，如果级数在柯西和下给出答案 α，那么在塞萨罗和下答案与柯西一致，也是 α。

关于塞萨罗和与柯西和的比较，我们暂时不讨论计算复杂度。单从数学严谨性的角度，我们找不到任何理由说柯西和优于塞萨罗和。我们应该认为这两种求和方式至少在数学地位上是平等的。想了解更多数学故事，推荐阅读《数学与数学家的故事》

巧合的是，除了柯西和，还有阿贝尔和，拉马努金和等等。柯西和还对上述和进行了推广，并给出了广义柯西和的概念。我们不应该只知道柯西和就否定这些各类和的正确性。

但看起来，塞萨罗和他的数学家们正在做一件吃力不讨好的事情。柯西和的定义不仅直观，而且计算起来也很容易，得到的结果也还不错。那么，刚才提到的这些人是不是只是在做无用功呢？

一二三四，再来一次

既然知道了要找什么，我们再回到最初的问题上，用理性、科学的方法重新总结一下这个级数。

首先是系列S1：

显然，柯西和在这里似乎并不适用。格兰迪级数的前n项和An是一个在1和0之间波动且不收敛到某个数的级数。如果我们只用柯西和作为工具，我们只能对这个看似简单的级数束手无策，失望而归。

这时候，如果我们用塞萨罗的方法求和，会发生什么情况？

我们分别计算{An}和{Cn}，看看能得到什么结果：

可以看出，虽然柯西和不存在，但是用切萨罗平均值得到的数列的极限是1/2。因此，我们可以说格兰迪级数的切萨罗和为1/2。

我们发现， 和不仅与柯西和兼容（即，如果柯西和存在，则 和也存在且与柯西和相同），而且 和可用于柯西和无法求解的发散级数。

不仅和，而且上面提到的Abel和，和等等都可以处理级数并得到1/2的一致结果。

就像无理数把有理数的范围拓展到了实数的范围一样，虚数把实数的范围拓展到了复数的范围，各种新的求和方式让我们对级数的本质有了更深刻的认识，我们终于可以对发散级数无穷正号背后的事物进行理论计算，而不是绝望地叹息。

现在，我们来看看 S2：

这一系列呈上升趋势的正负波动是否如视频中所说等于1/4呢？

如果你拿出纸笔来计算，你会遗憾地发现，对 S2 级数做塞萨罗平均后得到的级数 {Cn} 并不收敛。我们似乎又遇到麻烦了。难道真的无法对 S2 求和吗？

广义塞萨罗求和再次帮助我们解决了这个问题。这次我们用前 n 个部分和的平均值的平均值来近似序列的和。

在二阶均值序列近似下，我们确实得到了1/4的极限，这正是视频中给出的答案。同样，Abel和也得出了这个正确的结论。

最后，我们得出最让人无法接受的等式——自然数之和等于-1/12。

如果你尝试去计算，你会沮丧地发现，无论是柯西和、塞萨罗和、广义塞萨罗和（即使推广到无限阶）还是阿贝尔和，它们对于所有自然数之和的级数都无能为力。似乎无论用什么方法去近似这个和，得到的结果都是发散的。

然而，拉马努金给出了正确结果：-1/12。

-1/12这个数字并不是通过简单的数学技巧凭空捏造出来的，它里面蕴含着相当有趣和深奥的数学理论。