有趣的数学证明

“谢谢大家参加这次会议，能够在数学界十大帅哥面前露脸，是我们十兄弟的荣幸，再次感谢兄弟姐妹们的支持！”

“呸，我们最残酷的十大公式，数学界第一，我们还曾被英国科学杂志《物理世界》评为世界十大公式，你以为我们是谁？”

“原来，这些都是最喜欢惹事生非的十大公式，虽然你在数学界赫赫有名，但想要和我们争夺数学第一名，却是痴人说梦，其中蕴含的美妙与精妙。”我们的十大证明在数学界是无与伦比的一道风景，更神奇的是我们的帅气不需要用语言来形容！

“嘿嘿，开谁玩笑呢？我们十大公式不仅是数学家、物理学家智慧的结晶，更是人类文明的集中体现，每一个公式都深刻影响了人类社会的转型，甚至塑造了人类。 《事》、《你这十大口诀只是吹牛吗？有胆子就拿出你的实力来和我们比”、“比一比，谁怕谁”！

无需言语就能证明帅气的10大理由

1.勾股定理

这是每个人在小学都学过的古老定理。它有着无数的传奇故事。我们可以很容易地写出10种不同的证明方法。斯科特在《毕达哥拉斯命题》中提到过这一点（ ）。实际上有367种方法可以证明这个定理，这确实令人惊讶。这是一种不需要语言的证明方法。

事实上，毕达哥拉斯定理是余弦定理的一个特例，余弦定理的证明也可以不用语言来证明。

2.反正切恒等式

关于反正切，有两个精彩的方程如下：

/2+/3=π/4

++=π

他们的证明方法同样精彩。

3.几何平均数小于算术平均数

这是最重要和最根本的不平等：

也可以用图形方式展示，

注意到△ABC∽△DBA，我们很容易得到AB=√ab，剩下的就显而易见了。

4.1+3+5+…+(2n-1)=n 2

这就是奇数的求和公式。下图是n=8时的情况。

5.平方数求和公式

非常漂亮的公式，证明过程更是引人注目。

6.三次数求和公式

立方数和的证明与平方数和的证明有些相似。

7.斐波那契数列的恒等式

众所周知的斐波那契数列是指一个数字序列：1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列从第三项开始，每一项都等于前一项的和两个术语。 ，即F n+1= F n+ F n-1，

其一般公式为，

有趣的是，对于这样的自然数序列，通式实际上是用无理数来表示的，并且当n无穷大时，F n-1 / F n 越来越接近黄金分割数0.618。由于其各种神奇的特性，美国数学会甚至从20世纪60年代起就出版了季刊《斐波那契数列》。

关于斐波那契数列，有一个恒等式，如下所示：

这个方程非常漂亮，不需要复杂的数学推导。它有一个非常直观的证明方法。

8.一组结果为1/3的分子式

下面是一组分子式，它们的结果都等于1/3：

让我们用一些小球来看看这个公式，

9. 数学家中最流行的无字证明

1989年的《美国数学月刊》上有一道看似很难的数学题（）：下图是一个由小三角形组成的正六边形棋盘。现在请用右边的三个（仅面向不同的）菱形填满整个棋盘（图中只显示了一部分），并证明当你填满整个棋盘时，你使用的每种菱形的数量必须是一样的。

《美国数学月刊》提供了一个非常帅气的“证明”。给每个菱形涂上颜色，整个图形就会立即变成三维的。它看起来就像堆在角落里的立方体。三种菱形是从左、右、上观察整个三维图形时可以看到的面。他们的人数显然应该是相等的。

它将一个纯粹的组合数学问题与三维空间图形结合在一起，真是太神奇了。这个问题及其神奇的“证明”广为流传，深受数学家们的喜爱。

10.棋盘上的数学证明

在 8×8 的棋盘上，我们可以使用 32 块多米诺骨牌（两个相连的方格的矩形砖）来覆盖棋盘上的整个 64 个方格。

如果对角线上的两个方格被切掉，剩下的62个方格还能被31块多米诺骨牌覆盖吗？

答案是否定的，

每张多米诺骨牌必须覆盖棋盘上两个相邻的方格，一白一黑，因此 31 块多米诺骨牌应该能够覆盖 31 个黑色方格和 31 个白色方格，而在这个切角的棋盘上有 32 个一种颜色的方格， 30 个其他颜色的，所以它们不能被 31 个多米诺骨牌覆盖。

但是如果我们剪出两块颜色不同的东西怎么办？

如果我们从棋盘的任意部分切掉两个不同颜色的方格，剩下的62个方格会被31张多米诺骨牌完全覆盖吗？我可以告诉你，这是可以做到的，而且这个结论有一个非常漂亮的证明。

上图就是一个美丽的证明。粗黑线将整个棋盘变成一条由黑白方块交替首尾相连的封闭路线。从这个棋盘上切掉任意两个不同颜色的方格，就会把封闭的路线变成两条A线段（如果切掉的方格相连，就是一条线）。在这两条线段（或一段）中，两种颜色的格子数量都是偶数，因此每个格子都可以被几张多米诺骨牌覆盖。这就证明了整个棋盘可以被31张多米诺骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是由数学游戏大师马丁·加德纳提出的，而上述巧妙的证明是由数学家拉尔夫发现的。他们后来被收录在《意外的绞刑和其他数学娱乐》这本书中。

“你们十大功法的实力确实不俗，但在我们十大功法面前，根本不值一提。接下来，我就让你们看看，我们十大功法的威力。”

十大残酷公式

NO.10 圆的周长公式 (The of the of a )

创始人：古人

含义：自然之美的数学表达。

这个公式太棒了。从初中到现在，人类已经能够获得2061亿位数的圆周率精度。对于现代科学技术中使用的圆周率值来说，十几位数字就足够了。如果用35位的pi值 来计算可以包围太阳系的圆的周长，误差小于质子直径的百万分之一。

No.9 傅立叶变换 (The )

创始人：让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅立叶

意义：任何不规则信号都可以表示为规则正弦波的无限叠加。它是数字信号处理领域中非常重要的方法。

简单来说，没有这个表达就没有今天的电子计算机，所以你可以在这里上网。除了感谢党和政府，还要感谢这个完全无法理解的表达方式。另外，傅里叶虽然姓傅，但却是法国人。

No.8 德布罗意方程（The de ）

创始人：路易斯-维克多·德布罗意

含义：德布罗意认为任何物质都同时具有粒子性和波性，或者说任何物质也都可以被视为波，包括人本身。人不仅作为一种物质而存在，而且具有一定的意义。这也是一种波。

这东西真是太棒了。从高中物理到光学的许多概念都与它有密切的关系。简单来说，德布罗意认为电子不仅是粒子，而且是波，而且还具有“波长”，所以过了一段时间，他想出了这个物质波方程，表达了波长之间的关系，能源等。同时获得1929年诺贝尔物理学奖。

No.7 1+1=2

这个公式简直太残忍了，残忍到无话可说。

当我们人类第一次意识到1+1=2，然后意识到两个数字相加得到另一个确定的数字时，这一刻对于人类文明来说是一个伟大的时刻，因为他发现了一个非常重要的属性——可加性，这个属性及其概括是数学的全部基础。它甚至解释了数学为何被广泛应用，并告诉我们数学的局限性。

No.6 薛定谔方程（The Schr?）

创始人：埃尔文·薛定谔

含义：在量子力学中，物体的状态不能像经典力学中那样用位移、速度等来描述，而只能用物理量的函数来描述。这个物理量不再是某个数值，而是随时间变化的函数。分布概率，每个微观系统都有一个对应的薛定谔方程。量子力学中的薛定谔方程的含义与经典力学中的牛顿第二定律相同。

薛定谔方程是世界原子物理文献中使用最广泛、影响最大的公式。由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得了1933年诺贝尔物理学奖。

No.5 质能方程（质量– ）

创始人：阿尔伯特·爱因斯坦

意义：质能方程深刻地揭示了质量与能量的关系。在此之前，人们无疑相信质量就是质量，能量就是能量。两者之间没有任何联系。正是质能方程的发现，才有了原子弹、氢弹的爆炸。更重要的是，这个方程完全颠覆了人类的固有思维，推动了人类文明的进步。

科学界似乎从未有过一个具有如此广泛意义的公式。 1905年，物理学的“奇迹年”，是由一位名叫爱因斯坦的年轻人提出的。同年，他还发表了《论运动体的电动力学》——俗称狭义相对论，这个公式告诉我们爱因斯坦很牛逼，能量和质量是可以互换的。此外，他还有一个副产品：原子弹。

No.4 毕达哥拉斯定理/毕达哥拉斯定理 ( )

创始人：毕达哥拉斯（也有人认为毕达哥拉斯定理在我国商代就出现并被证明）

意义：毕达哥拉斯定理是用数学方法解决图形问题的典型方法。目前，有400多种证明形式。毕达哥拉斯定理深深扎根于地球上每个人的心中。

你做数学的时候不可能没有用过，我就不多说了。

No.3 牛顿第二定律（ 的定律）

创始人：艾萨克·牛顿

意义：牛顿第二定律是经典物理学的核心。它适用于我们日常生活的各个方面。它标志着真正的物理学研究的开始。如果没有牛顿，人类文明将会在黑暗世界中度过更长的时间。

有史以来最伟大的科学家之一，有史以来最伟大的科学杰作之一《自然哲学的数学原理》被认为是经典物理学最伟大的核心定律之一，动力学的所有基本方程都可以通过微积分从它导出。

No.2 欧拉公式（Euler's）

创始人：莱昂哈德·欧拉

意义：欧拉发现的数学公式有很多，所以欧拉公式并不是单一的公式。欧拉公式广泛分布在数学的各个分支中。瑞士教育与研究国务秘书曾表示：“没有欧拉这么多的科学发现，我们今天将过上完全不同的生活。”法国数学家拉普拉斯认为：读欧拉，他是每个人的老师。

欧拉是历史上最多产的数学家，也是在各个领域（包括数学和力学、光学、声学、水利、天文学、化学、医学等各分支）发表著作最多的学者。数学史称十八世纪为“欧拉时代”。

欧拉出生于瑞士。他31岁时右眼失明，59岁时双眼失明。但他有着乐观的性格和惊人的记忆力和专注力。他一生都很谦虚，很少以自己的名字命名自己发现的事物，但他仍然命名了最重要的常数之一——e。

关于e，之前有一个笑话：在精神病院里，有一个病人整天对别人说，“我区别你，我区别你”。由于某种原因，这些患者都有一些简单的牙结石。概念，他一直以为有一天他会像一般多项式函数一样微分到零然后消失，所以就避开了他。然而有一天，他遇到了一个不为所动的人。他很惊讶。这个人平静地对他说：“我是x的e次方。”

这个公式的巧妙之处就在于它没有任何多余的内容。它将数学中最基本的e、i、π放到同一个公式中，还加上了0和1，这也是数学和哲学中最重要的。用一个简单的加号连接。

高斯曾说过：“一个第一次看到这个公式而没有感受到它的魅力的人，不可能成为一名数学家。”

No.1 麦克斯韦方程组（The s ）

创始人：詹姆斯·克拉克·麦克斯韦

含义：将电场和磁场有机地统一成完整的电磁场。并创立了电磁场理论。没有电磁理论，就没有现在的社会文明。

积分形式：

微分形式：

凡是能看懂这些公式的人，一定会感到后背一阵凉风——如果没有上帝，我们如何解释如此完美的方程呢？这套公式结合了高斯电定律、高斯磁定律和法拉第定律。和安培定律。

一个比较温和的评价是：“一般来说，宇宙中的任何电磁现象都可以用这组方程来解释。”后来，麦克斯韦仅用纸笔计算，就从这组方程中预测了电磁波的存在。

这个方程组完美地统一了整个电磁场，这使得爱因斯坦一直想以同样的方式统一引力场，将宏观和微观两种力放到同一套公式中：著名的“大统一理论”。

爱因斯坦直到去世才走出这条隧道，如果我们走出这条隧道，我们就会在隧道的另一端看到上帝本人。

十大帅气样张和十大残忍公式介绍完后，一场暗黑的群殴开始了。