欧拉公式：结合了数学中最基本的常数e、i、π

欧拉公式：将数学中最基本的常数e、i、π，以及数学和哲学中最重要的0和1通过加号连接起来，放在同一个公式中。 推导过程并不复杂，也不是天上掉下来的。 是的，结果是惊人的

觉得自己数学不好的读者请放心，全文中只会出现最简单的初等代数、微积分和复杂的变函数公式。 如果你无法理解的话。 。 。 然后看图片。 。 。

莱昂哈德·欧拉（ Euler）（欧拉，1707年4月15日 - 1783年9月18日）

欧拉公式：“宇宙第一公式”

这个公式的巧妙之处就在于它没有任何多余的内容。 它将数学中最基本的e、i、π放到同一个公式中，还加上了0和1，这也是数学和哲学中最重要的。 用一个简单的加号连接。 e、i 和 π 三个量的起源可以在以下三篇文章中详细找到：

数学中最基本的自然常数e的由来。 e代表欧拉吗？ 虚数单位 i 的起源，数学中最有趣的符号之一。 i有物理意义吗？数学中最基本的常数之一圆周率的由来，以及快速计算圆周率的计算机算法

右眼失明的欧拉

这个公式是神写的吗？ 欧拉是历史上最多产的数学家，也是在各个领域（包括数学和力学、光学、声学、水利、天文学、化学、医学等各分支）发表著作最多的学者。

在数学史上，十八世纪被称为“欧拉时代”。 数学小王子欧拉不仅名气大。 他曾在各个领域奋斗过。 欧拉出生于瑞士。 他31岁时右眼失明，59岁时双眼失明。但他有着乐观的性格和惊人的记忆力和专注力。 他一生为人谦虚，很少以自己的名字命名自己发现的事物。 然而，最重要的常数之一被命名为 - e。

关于e有一个冷酷的数学笑话：在一家专门为数学家服务的精神病院里，一个病人整天对别人说：“我区分你，我区分你。” 这些数学家患者总以为有一天他们会像一般多项式函数一样微分，直到变为零而消失，所以就避开他。 然而有一天，他遇到了一个不为所动的人。 他很惊讶，病人平静地对他说：“我升到了x次方。”

真是笑话。 。 。

高斯曾说过：“一个第一次看到这个公式而没有感受到它魅力的人，不可能成为一名数学家。” - 高斯是另一位数学小王子，是学生的噩梦。

而且，它对数学领域的创造也产生了广泛的影响，比如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等等，都有她的影响。

因此，数学家评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它，但不能完全理解它”。

这个公式对物理学也产生了巨大的影响，比如机械波论、电磁学、波动光学、量子力学等都躺在她的脚下； 难怪物理学家查德·费曼惊叹：欧拉恒等式不仅是“数学中最奇妙的公式”，也是现代物理学的定量基础，因为它简洁地连接了五个最基本的数学常数，还结合了圆周运动、物理学中的简谐振动、机械波、电磁波、概率波等。 连接的...

欧拉的恒等式是：

其中 e 是自然常数（自然指数的底数），i 是虚数单位，π 是 pi。

这个恒等式首次出现在欧拉于1748年在洛桑出版的书中。它是欧拉公式在复分析中的一个特例。

复函数中欧拉公式的推导如下：

这三个公式是麦克劳林公式，省略了余数。 麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式。

在 的展开式中，将 x 替换为 ±ix。

欧拉公式的数学和物理意义

虚数i占据特殊的位置。 要理解这个公式，需要从 i 开始：

大家在高中的时候都接触过虚数i，但当时我们只知道它是-1的平方根，但是它的真正含义是什么？

这里有一条数轴，数轴上有一条红色线段，它的长度为1，当它乘以3时，它的长度发生变化，变成了一条蓝色线段3，当它乘以- 1，它变成绿色线段，或者说该线段围绕数轴上的原点。 旋转180度。

我们知道，乘以-1实际上相当于将i乘两次，因为i×i=-1，将线段旋转了180度。 乘以 i 一次怎么样？

答案很简单：旋转90度。

如果我们把这个运算放在坐标平面上来表达，实轴和虚轴就构成了一组对称的线段。 然后我们在0处插入一条垂直于这条线段的轴，这样就形成了一个平面，我们称之为复数平面； 在这个平面上，我们可以看到虚数i的函数是旋转。

对于欧拉公式

这个公式在数学领域的意义远远大于傅立叶分析。 当 x=π 时，我们有

其描述圆周运动的物理意义是中心位移为0，如下图：

该公式的关键功能是将正弦波统一为简单的指数形式。 我们看一下它的图形含义：

可见，欧拉公式描述的是复平面上做圆周运动的点。 随着时间的变化，这个点在时间轴上变成一个螺旋。 如果只看它的实部，即左边螺旋线的投影，它是最基本的余弦函数，而右边的投影则是正弦函数。

现代物理学告诉我们，宏观宇宙本质上是旋转的，有圆周运动和自旋； 微观世界也在旋转，有圆周运动和自旋，欧拉公式描述的核心就是旋转和自旋。 频率

欧拉公式在其他领域的应用

在拓扑学中，在任意正球面地图上，用R记录区域数，用V记录顶点数，用E记录边界数，则R V- E = 2。这就是拓扑学中的欧拉定理。 它的证明是在1640年首次给出的，后来欧拉在1752年独立给出了证明。我们称之为欧拉定理，国外也有人称之为定理。

假设G是一个n阶连通平面图，有m条边和r个面，则nm r=2。这个公式就是图论中的欧拉公式。

欧拉公式的柯西证明

统计特征函数采用欧拉公式：随机变量X的特征函数定义为

1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院提交了论文《柯尼斯堡七桥》，开创了数学的一个新分支——图论和几何拓扑。 它展现了数学家处理实际问题的独特之处——将实际问题抽象成合适的“数学模型”。 这种研究方法就是“数学模型法”。

-Euler （费马大定理 n=3 的欧拉证明）