庞加莱对偶定理

广播简介

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在数学中，庞加莱对偶定理以亨利·庞加莱的名字命名，是流形结构的基本结果。它指出，如果 M 是一个 n 维定向闭流形（紧凑无边界），则 M 的第 k 个流形与 M 的 (nk) 流形同构，对于所有整数 k，

庞加莱对偶性适用于任何系数环，只要其取决于该系数环的方向即可；特别是，由于每个流形都有唯一的方向模数 2，因此庞加莱对偶性在没有任何方向假设的情况下保持模数 2。 [1]

历史广播

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1893年，亨利·庞加莱首先提出了“庞加莱”的一种形式。这就是说，Betti 数：闭合（即紧凑且无界）可定向 n 流形的第 k 个和 (nk) 个 Betti 数相等。那时，上同调的概念已经被澄清了大约40年。在他 1895 年的论文分析中，庞加莱试图用他发明的拓扑相交理论来证明这个定理。对他工作的批评使他意识到他的证明存在严重缺陷。在对情况分析的前两次补充中，庞加莱给出了双三角形的新证明。

庞加莱对偶性直到 20 世纪 30 年代同时性的出现才采取其现代形式。

现代表达广播

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庞加莱对偶定理的现代表述是关于流形和上同调的：如果 M 是闭向 n 流形，并且 k 是整数，则第 k 个流形具有规范同构

至 (nk) 歧管

，这里，同完整性和同源性是基于整数环中的系数，但同构适用于任何系数环。具体来说，人们将

一个元素被映射到它的卡片产品，它是面向M的。

对于非紧凑型歧管，必须使用紧凑型支架。

流形被定义为负零，因此庞加莱的对偶性特别意味着可定向闭合 n 流形的流形和上同调群在角度大于 n 时为零。

双线性配对广播

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假设 M 是紧无边且可定向的，令

表达

刮刮组。并让

是具有与整数系数相关的自由部分的流形。然后是双线性映射，也就是对偶配对。

和

第一种形式通常称为十字形式，第二种形式是扭转接头形式。假设流形 M 是光滑的，通过扰动流形类横向计算叉积，并计算它们的方向交叉数。对于扭曲链接形式，x 和 y 的配对是通过将 nx 实现为某个类 z 的边界来计算的。形式为分子的分数、z 与 y 的横向交点数以及分母 n。

配对是双重的说法意味着所附地图

和

它是群的同构。

这个结果是庞加莱对偶性的应用。

以及给出辨识的通用系数定理

因此，庞加莱对偶性意味着

和

是同构的，尽管没有给出同构的自然图，并且类似地，

和

它也是同构的。 [2]

摘要及相关结果广播

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庞加莱的对偶定理是对边界多边形的推广。在没有方向的情况下，可以给出独立于方向性的陈述，同时考虑到地方的方向：参见扭曲的庞加莱对偶性。

布兰奇菲尔德对偶性是庞加莱对偶性的一个版本，它提供了阿巴尔覆盖空间流形的同调性以及具有紧支持的相应同态。它用于获取模块的基本结构结果，并可用于定义节点。

从1955年开始，随着流形理论的发展，包括K理论和其他非凡的理论，一旦构造出多样化的产品，人们就认识到H*的流形可以被其他理论取代。更具体地说，广义流形理论具有一般庞加莱对偶定理，该定理需要流形理论中的方向概念，并根据广义托姆同构定理来表述。托姆同构定理在这方面可以被认为是广义流形理论庞加莱对偶性的萌芽思想。

更重要的二元性是对（可能是奇异的）几何对象的适当概括，例如分析空间或方案，而交叉流形是由 R. 和 M. 为分层空间（例如实代数或复代数）开发的。多样性，庞加莱的这种分层空间的二元性。

代数拓扑中还有许多其他形式的几何对偶，包括对偶、亚历山大对偶、霍奇对偶和 S 对偶。

更代数地讲，我们可以抽象出庞加莱复形的概念，庞加莱复形是一种代数对象，其行为类似于流形的奇异链复形，特别是相对于基类在其流形上满足庞加莱对偶性的代数对象。庞加莱空间是一种奇怪的链组合，称为庞加莱复合体。这些并不都是流形，而是它们没有成为可以通过阻碍理论测量的流形。