刘若川：数学中有哪些未解决的问题，哪一个是最重要的？

2017年，在未来科学大奖颁奖典礼以及未来论坛之上，北京国际数学研究中心的副教授刘若川，针对千禧问题、黎曼其人等概念，进行了逐层递近的分享。

首先，刘若川进行了千禧年七大数学问题的介绍，这其中包括，关于理论计算机领域的P和NP问题，还有霍奇猜想，庞加莱猜想（此猜想已被解决），黎曼假设，杨－米尔斯方程，纳维－斯托克方程，以及BSD猜想。这里面，黎曼假设可谓重要且古老，至今仍未被解决。

把黎曼看成是19世纪当中最为具有创造力的数学家的他，其一生在著述方面数量不多，然而差不多每一篇所撰写的论文都是堪称经典的作品，于函数论、代数几何微分几何、数论等这些学科里均开展了具有奠基性质的工作，黎曼所进行的工作对于现代数学的形成以及发展有着极大程度的影响。

于应用方面，像黎曼几何能够以内蕴的方式去领会雪山弧度所具有的“弯曲”这一概念。黎曼大概是首个持有人类所处宇宙是四维的这种观点的人，这里加上了时间的概念，之后爱因斯坦在该基础之上提出了“相对论”，最终把这个意义给呈现了出来。

为什么黎曼假设是重要的呢？它是关于素数的猜想，一旦被证明是成立的，将会对数学的发展有着重要的推动作用，所以当下人们宁可相信它是对的。

以下是演讲全文：

刘若川表示自己非常感激来自未来给的邀请，当时他也深感荣幸地看到了那个报告，那个报告的题目是讲述黎曼以及黎曼假设的，这是他所做报告的提纲，该提纲被划分成四个部分，在第一个部分里，他会去介绍一下那所谓的千禧年七大问题，就在刚刚孙教授已经提及过了，随后的第二个问题他会介绍黎曼的生平情况，而第三个部分与第四个部分属于数学性区域，他会讲解得极为初等，他期望大家能够领会其中所蕴含的涵义。

呢那么那个千禧年七大问题究竟是什么呀？在2000年那个世纪之交的时刻，存在一个数学研究所，它是如今在数学领域极为著名的、特别颇具知名度的数学机构，其目的在于能够去实现推广数学，进而促进数学的发展。千禧年时，他寻得了数学界最为顶尖的数学家，这些数学家挑出了七个问题，这七个问题在数学的各个方向上堪称可能最为深刻、最为前沿的问题，像第一个，是P和NP问题，它属于理论计算机方面的问题，或许不少人都知晓，第二个部分是霍奇猜想，了解的人兴许少些，这属于代数几何类问题，我们大奖得主许老师的专业正是代数几何，第三个是庞加莱猜想，这是主持人提及的唯一一个当前已被解决的猜想，是被俄国数学家（貌似叫派而满）解决的，其生平极具传奇色彩，有诸多故事，暂且不讲了，第四个是我们今日所讲的黎曼假设，涉及数论问题，第五个是关于杨·米尔斯方程，此杨乃是当下中国极为伟大的物理学家杨振宁教授，他在50年代关于非交换阿尔卑厂的工作，当然是与米尔斯合作后产生了这个方程，田老师应为这方面的专家。数列当中的第六个项，乃流体力学范畴之内名为纳维斯的方程 ，数列里的第七个项，是指BSD这样一种猜想 ，此猜想同样和数论相关联。

大家常说，文无第一武无第二，这七个问题没有进行排序，不存在哪一个问题更为重要之说，若让数学家去投票，要从这七个问题里选出一个问题，我认为黎曼假设当选的几率很大，我待会儿会讲讲为何人们觉得它极其重要，从历史角度来讲的话，黎曼假设或许当属目前这几个问题中最古老的，它是大概于19世纪50年代被提出来的一个猜想，至今尚未被解决。

我还要提及一下杨先生，他身为极为通晓数学的物理学家，过去存在一则笑话，数学书存在两类，一类是我翻阅了第一页便不愿再看了，另一类是我瞧了一行便不想接着看下去了。数学这门学科，经历了长达两千多年的发展历程，近期实际上处于加速发展态势，其发展速度日益加快，如同其他科学技术那般，进而变得高度技术化，在实现高度技术化后，致使其基本思想，对于我们这些，比方说未曾接受过数学训练的人而言，极难被理解、被欣赏，所以时至今日，我们回归到最为原始、最为基本的想法，让我们瞧瞧数学领域中极为重要、极为漂亮的事物。

将其称作黎曼的那位数学家，我把这样一位处于19世纪的数学从业者，认定当成拥有极为强烈创造力特性与效能发挥可能性的人，就数学领域的相关群体而言，要是针对在一些专业层面表现最突出的状况来予以评定认定的话，总是容易包含着一定程度风险的，这是属于我个人秉持的观念想法，事实上他是诞生于一个牧师家庭环境之中，他们家在经济方面是较为困窘的，他的父亲是处于比较穷困经济状况层面的牧师，所以他自小就被家庭送往相关机构地方去进行宗教内容知识的学习，期望他未来也能够成为一名牧师神职人员，进而改进提高家庭之中的财富等诸多相关经济方面的状态情形，然而他在中学读书的那个时代就已然显露展现出了在数学学科体系上的天赋才能，他所具备的这种天赋才能致使使得他的授课老师感到格外非常惊讶诧异，我清楚地记得有一则故事传闻是这样讲的，有一回这位老师给予交给他一本书籍，他仅仅用了一个礼拜的时间就把书籍归还回去回复了，并且声称表示自己早已已经阅读看懂看完可以不再需要这本书了。有相当突出的数学天赋，鉴于家庭经济状况，选择在大学修习宗教相关内容，最终结识了后文所讲的那位声名远扬的数学家，也就是我们称作数学王子的高斯，高斯提议他继续钻研数学，鉴于天赋极为难得，随后家里也予以认可，其遂转而学习数学，他的寿命并不长久，大约仅仅活到40岁，因普鲁士与奥地利发动的一场战事，且这是德国统一进程中的关键大战，由于战争致使其逃至意大利，最终于意大利离世。他的一生极为短促，所撰写的文章数目不多，大概也就十篇上下，那每一篇而言，对于普通数学家来讲，倘若能有这样一篇文章，便足以名垂青史，已然会感到颇为满意了，而他几乎每一篇文章都具备这般水准，并且有着开创性的贡献，他的工作处于从古代迈向现代的过渡阶段，他开创了一些学科领域，诸如黎曼曲面、黎曼希尔伯特对应以及黎曼几何、黎曼猜想等，对当下的数学产有着极大的影响，而且这种影响或许会持续下去。

略微讲一讲数学，些许数学，大体上只要小学阶段或者初中时期的数学便足矣，因此大家无需紧张。

左边是我自行拍摄的，关于雪山的照片，其摄影技术较为平淡无奇，这里的目的，我的题目是内在地理解弯曲，我们瞧见一座雪山，弯曲，这是很自然的一种视觉感受，弯弯曲曲，曲曲折折的。要是你采用数学的表达形式，或者用语言去表述这个东西，你能够怎样呢？运用坐标系，我们都学过坐标系，三维坐标系，任何一个点都能用三个数来表示，对吧？你就构建成了一个所谓的三维地理信息系统。也就是我们通常所说的地图，三维地图。你能够把这个地图投影制作成变成二维的地理信息图，从而成为平面地图，依据这幅图像三维定位完成以后，与坐标之间存在的变换速度，也就是所说的那个斜率，据此能够看出这个图形的弯曲程度，它跟我们的理解是相契合的，我觉得我们普通人对于弯曲是这么理解弯曲问题的，这不存在任何问题。然而从黎曼几何的视角将会如何对诸如这样的情况理解这个关于弯曲的问题，假定条件是如此这般的情况，我们身处于一个球面之上，我们人类审视这个球面应该能够理解弯曲究竟是什么意思而丝毫无碍可言没任何问题。假设当下存在一种二维生物，其境遇甚是悲惨，与我们不同，我们拥有三维视野，能够从外部去看明白委屈，而它仅仅是二维层面的动物，没办法于球面上跳出进而进行观看，我们所看到的球面是呈现弯曲状态的，那它究竟要怎样去理解这种弯曲呢，这正是黎曼几何的核心观点所在。比如说我是处于其中的事物，我到底该如何去理解我所身处的空间或者是宇宙的弯曲程度呢。

这个核心的想法，是黎曼的想法，其是用距离这个观点、这个概念，我们看向右边，初中所学的平面几何，对吧，这是所谓的大圆，即任何两个点，A和B在圆心，三点构成一个平面，此球便形成了一个大圆。球面上存在一个很重要的性质，就是假设存在两个点，A和B，你沿着球面行走，从A点走到B点，最近的路径什么样呢，其实便是沿着大圆走，这是很容易知晓的一个事实。假设这个蚂蚁具备测量能力，尽管我无法看见，也就是不能由外部看到我的球呈现何种样子，然而我进行测量，在测量以后发现从A走到B，顺着大圆行走是最近的，自然而然就会想到，把这个称作直线，即两点之间直线最短，要是蚂蚁如同我们这般思考，那就将其定义为直线。任何的两条直线等同于两个大圆，两个大圆必然会相交，这跟我们人类的经验不一样，我们的思维是存在两条平行线永远不会相交，在球面上二维生物理解属于我的世界里任何两条直线都会在空间，缘由是空间是弯曲的，并非平坦的，是弯曲的。假如你有一个只生活在自身世界的二维动物，能够凭借测量发觉自身所处的空间是不是弯曲的，这是黎曼几何的基本理念，我怎样方可内蕴地理解弯曲的概念。

大家都清楚后来发生的事情，那是一个关于我们命运的情况，实际上我们的命运相比蚂蚁强不了太多，同时我们生活的空间存在诸多状况。我们具备聪明才智，这种聪明体现在我们借助物理学家的努力，真正认识到了那种弯曲，但我得讲一下，这个想法最初源自黎曼，黎曼是首个提出我们生活的空间是四维的人，是时空，也就是时间加上我们的三维空间，从这个角度去理解我们所处的宇宙最为恰当。

有物理天赋的天才物理学家爱因斯坦提出了相对论，爱因斯坦这个人，作为物理学家是有着极高物理天赋的，然而他数学不好，他在上大学时期，常在情况下逃数学课，结果后来数学能力欠佳，不过他有个数学特别好的同学，后来他想创建广义相对论时，存在物理直觉却缺乏合适工具，恰巧同学帮他，有一种叫作黎曼几何的东西很适合你，这东西在五六十年前就已被做出来了，你试试看，他运用黎曼几何来表达他的相对论。知悉时空是四维的，质量的存在必然致使空间发生弯曲。那该如何去理解这种弯曲？也就是所谓的制宪会弯及什么才是直线？对于直线，我们的认知是两点之间距离最短的那条线称作直线，对？在物理范畴中，光沿着最短路径行进，光在真实世界所呈现的直线，经我们测量发现，在质量的作用下出现了弯曲，所以我们所处的真实世界是一个四维时空，凭借测量光的弯曲程度，我们得以知晓自己真切生活在一个弯曲的空间里。

这个属于黎曼集合的基本思想范畴，那么再来说说黎曼假设，它是一个围绕数的问题，就像孙教授适才所提及的，是关乎数的问题，后续我们会涉及一个极为庞大的朗兰兹纲领，对于数学家而言其意义十分深刻，如果我们从一个相对宽泛的视角去领会黎曼假设之重要性，它为何重要呢？适才图片里出现了数学王子高斯，他俨然能被称作史上最具智慧的数学家，我觉得大部分数学家对此都毫无异议，都会认定他是最为聪慧的，田老师不知是否也作如此想呢。

为何关于素数的黎曼假设被称作假设呢，是由于其极具重要性，一旦得以成立，便会对我们的数学产生极大的推动作用，诸多问题就能迎刃而解，因而人们甘愿相信它是正确的。我觉得自然数在数学领域占据着特殊的位置，这是我个人的一孔之见。鉴于我刚刚提及了几何，并非说几何不重要，而是几何是一种我们与其他生物都能共享的事物，倚靠我们的视觉，我们从视觉中萌生几何的想法与概念。那么，生物，其他的生物同样存在这种想法，并且还有这样的视觉，有的视觉相较于我们而言更为出色。

有种说法称，高级物种对数的概念欠佳，像一只未经训练的猩猩，能数到三或者十，经训练会多些，人类经验丰富，人类从何时起从一二三持续数下去直至无穷成了有趣问题，原始数数不可能，在某一时刻有了飞跃，我们忽然意识到数可一直数下去，我觉得这是对数关联的飞跃，所以我觉得数是人类思维里独有的东西。

为了对整数展开研究，我们引入了素数这一概念。如同刚刚孙教授所讲述的那般，素数实则是一种无法被较小的数整除的数，而其他数乃是素数的乘积，这属于最为基础的内容，同时也是极为重要的内容。然而，我们针对素数的分布规律的了解极为有限，它是一个相当神秘的对象。要是你想知晓这个情况，要是能够弄明白素数的奥秘，你必定会成为，我都不敢断言会怎样？反正会是顶级的数学家。

高斯呢，他作为第一个有史记载的人，就素数的分布规律提出了一个猜想，还拟定了一个素数定律，这定律告诉了我们些什么呢，它表明了素数分布规律大概呈现出的模样，呈现出的是一个约等号的样子，是这个情况。向你告知，在前一千个数当中，会有168个属于质数，其比例大概为六分之一，接着就是，前一万个数里面，有着1229个质数，占比是八分之一，再者说，前十万个数里面，存在9592个质数，大致为十分之一，质数于数里面的分布，愈发趋于稀疏态势，很早时候我们便晓得质数乃无限的，可分布的稀疏程度该如何予以把控呢，这便是所提出的素数定理，能够运用X去除掉此自然对数，我们在中学阶段都理应学习过自然对数里的对数，是这样吧？于是乎，这个比例理应是logX分之一这般的比例，伴随X持续地增大，该比例愈发降低，这是一个颇为粗糙的，从黎曼假设层面来讲较为粗糙的，后续会提及此事。单引号首个有关素数分布规律的猜想，高斯借助手去计算，计算之后猜想此内容，相当厉害，因为彼时并未有计算机。

说的是什么是黎曼假设，就在刚才，孙教授已然写下了黎曼的方程这么个事物，关于这个基数求和，那个加上1，表示往下假设是极难理解的，这可是个神秘的函数，之所以它神秘，在于你能够去取值，一旦取值会发觉，像是π，当到了246的那个当口是和π存在关联的，到负2、负4、负6的时候此函数值是等于0的，这属于最大函数的频繁临界情况，这终究是一个函数，针对这些数是允许取值的，那黎曼假设究竟告知你们什么。告诉你此函数非平凡零点的虚部为二分之一，这属于负数概念，此最大函数可定位在整个负平面上，能考虑该负数的取值情况，那这个零点是何种样子的。所谓非平凡零点指的是负2、负4、负6这类，这是个很神秘的猜测，我没办法给大家解释为何如此猜测，存在很深刻的数学缘由。

位于左边的，是黎曼在1959年所撰写的手稿，能瞧见里面有着诸多涂涂改改的痕迹，书写状况极为杂乱，由此可知数学家所取得认知成果着实来之不易，在那个时代仅凭借纸张与笔便能够达成相关工作，而时至如今，有时我们则需要借助计算机来进行运算。接着，于右边区域，那个被红点标志之处，也就是数字负2所在的地方，存在着一个频繁出现的零点，其后还有负4，这些皆是频繁出现的零点，可其并非是我们当前所探讨思索的内容，我们推测其他的零点处于那条虚线上，也就是二分之一这条直线上。

此刻，我们能够做些什么事情呢？也就是说，于白色的区域当中，零点处于这样一个白色区域之内，此图并非特别精确，故而你瞧这个白色的区域，到中间的这条虚线的差距极大，极为遥远，我们对这件事情的理解仍相当原始，颇为粗糙，距离真正理解这件事情还甚远，接着先前讲了一个素数定理，它与黎曼假设存在怎样的关系呢？一旦你知晓黎曼假设，便会明白对素数定理会拥有更精确的了解。怎么去证明，最右边的这条线乃是整个图形右侧的那条边，这件事情我们是知晓的，也能够目睹，证明那条边上不存在零点，与证明所有零点都在虚线上，二者之间的差别究竟有多大，不是吗，所以当下我们对于一个弱得多得多的这般结论存在着这样一种证明，并且挪威数学家亦给出了这么一种证明，即所谓的初等证明，还荣获了菲尔兹奖，所以你瞧见了哦，如果给出这般一种证明，你立刻会，我觉着肯定会，未来大奖就会归你，那是毫无问题的，要是你年龄在40岁以下的话，菲尔兹奖同样会是你的，绝对没有问题。有千禧年大奖，此奖金额为一百万美金，我认为我们未来的大奖更具优势，原因是我们所缴纳的税相对少一些。

那么，我才刚把黎曼几何这个事物讲了出来，实际上它对于我们去领会物理以及现实而言极具助益，并且近来它似乎还与大数据、人工智能等产生了关联，我并非属于专家的范畴，压根不懂这些，我仅仅是去看了自媒体那儿的文章。要是有人去询问黎曼假设，这两个概念确实是由黎曼给提出来的，看着他特别厉害，在几何相关的事物方面，在纯粹的数字领域都有着极为深厚的造诣。这个黎曼假设究竟该如何去运用，它是不是类似像物理学那样能发挥重要的功用，对我们来说又有着怎样实际的用途，人们常常会去问数学到底有什么实际用途。黎曼假设具有实际作用吗，达到如物理世界那般实际的程度呢，我当下只能表明我所知晓的最具实际意义的作用是啥，就是当你能获取一百万美金的那个，这便是最具实际意义的作用了，我只是在开个玩笑而已。我觉得黎曼假设乃人类智力的一个衡量标准，我认定它如同我们人类智力所能抵达何层次的一个判定标准一样，这也是在众多人之中人类得以崭露头角的一类数学理论，是我们人类在芸芸众生间能够脱颖而出的一项极为重要的指数，因此我同样满怀期待，而且它如今已有大概一百六七十年这样一段历程了。我们对于该如何解决它，还全然不知，对此我发觉当下全然没有那种会被解决的迹象，所以有很长一段时间，我们需专门琢磨解决它，我认为我们应当朝着努力思索这难题的方向去前行，而不是只围绕着它反复讲这些。