丁玖提出疑问：究竟该以怎样的方式学习数学？

然而，不存在那种适用于所有地方都正确的“学习方法”，这并不表明没有能够用来解答“怎样学习”这个难题相对来说比较有效的一些行动准则。我会借助我的同学的故事为我所表达的观点给出客观的例证。事实上，下面这些经验之谈或者基本观点大多源于我班同学的亲身感受，并且也很能引起我的共鸣。故而有些标号为“我的”观点，实际上也就是“我们的”观点。

认识你自己

在小学六年级时期，我的家乡有个名叫翟灿芳的人做到了一件十分了不起的事情，他竟然在全县范围内的算术竞赛里拔得头筹。时间来到 1963 年，他顺利考入初中，自此之后，他在该校的数学成绩始终名列前茅。特别是当学习进程到达平面几何那个特殊学期时，许多同学都陷入迷茫，不知所措，可翟灿芳却好似鱼在水中那般自在从容。随着时间推移，令人意想不到的事情发生了，就连他的老师对于某些数学题目都感到无从下手，转而向他请教，而他每次都能成功解答出来。鉴于此，同学们便送给他一个“小华罗庚”的称号。当时风头正劲的翟灿芳，被校长邀请至全校大会，要求讲讲他是运用何种方法学好数学的。然而，无论他怎样费尽心思去思索，终究还是弄不明白自己究竟是怎样学好数学的。最终，他只能随意地编造出类似“愚公移山”那般的励志故事，这与舆论一同极力推崇的“笨鸟先飞”的说法，其基调全然是相同的。

几十年之后，当翟灿芳跟我谈及这段往昔之事的时候，他用着“胡说”这两个字，针对他于初中大会之上传授“愚公移山”的学习法宝这个历史方面的事件做出了定性。而后他得出了这样的结论：“实际上兴趣以及天资是最为重要的。”。

针对“怎样学习”这一问话，翟灿芳已为我们给出了回答的先决条件，首先是兴趣大于一切，其次天资也是成功的关键因素，学习的动力来源于对所学科目的热爱，而被自身天赋之才点燃的热爱通常是生于兴趣的。

杨振宁先生天生的禀赋是在理论探讨方面，然而动手做实验对他来说是短板。他初到芝加哥大学物理系攻读博士学位之时，做实验不断遭遇挫折，在实验室里甚至有这样一句玩笑话流传，“哪儿出现爆炸，哪儿就有杨振宁”。所以，要是把杨振宁培育成像丁肇中那般的实验物理学家，那无异于天方夜谭般的空想，然而极具优势的数理分析能力以及超出常人的科学想象力铸就了他作为当代伟大理论物理学家的一生成就。

在几十年前，那个特别的阶段，人们所信奉的，是一句能激励大众的励志成语，即“笨鸟先飞”。这句话确实有着鼓励人们积极向上的作用，可无法否认的是，简单的事实为，会飞的普通白鹅，无论怎样鼓足力气向上飞，却始终没办法像白天鹅那般，在天空中自由翱翔。所以，昨日的这四字豪言，和今日一句更响亮的口号“不让孩子输在起跑线上”，从某种层面来讲，在读书学习这件事上，都是误导民众的“罪魁祸首”。在关于如何学习这个方面，我们也应当听听苏格拉底“认识你自己”的劝告。正确的姿态应当如此：不论自身是“生而知之”，还是“天生愚钝”，都要全面认清你自己，发扬长处，规避短处，培育对你真正喜爱的一门学科的兴趣，寻觅到契合自身的方法，勤勉地读书学习，最大程度地翱翔至与你的才华和能力相适配的一个高度。

告别“多动症”

好了，就像数学中常有的做法那样，首先给出一组假设：学生已然建立起对数学的兴趣，而且愿意勤奋地去学习。他或者她天生是否极为聪慧或者智力处于平常水平，我们在此并不在意。处于这理想的状况下，如何能够事半功倍地学好这门学科，却不需要来自家长、辅导员、心理学家或者校方专门负责学生工作的相关部门等等这些非数学因素的协助呢？

我最先要着重表明的是，学习的首要因素是专注，难以设想一个患有“多动症”、注意力极为不集中的学生能把书念好，特别是学好数学，要知道，深奥的极限理论若不聚精会神一字一句地钻研，就无法深刻领悟其精神内涵，至多只是处于云雾中的一知半解、似懂非懂状态，我想要指明的是，专注者看书一小时的成效，能抵得上精神涣散者五个小时的智力劳作，如果真打算学好数学，注意力欠佳的人必须下定决心排除重重困难，先学好专注这门童子功。

要问如何才能掌握这门功夫呢，京剧大师梅兰芳先生早年两眼存在些许近视状况，致使眼神无法向外显露，眼珠转动也显得不够灵活，这对于一名演员来讲可是个致命的缺陷，恰似学数学的人先患上了“多动症”那般。拜师之际，老师因厌恶他那一双“死鱼眼睛”而不愿教授他，然而他并未灰心丧气，借助驯养鸽子来练习眼功，久而久之便练就了日后在舞台上顾盼之间神采飞扬、光芒闪耀的双眼。

想出一种办法，能开出治疗“专注缺乏症”的一味良药：前往人声嘈杂的地方去读书。要是你不乐意走到户外，也能够打开电视机，挑选一档格外有意思的节目，并且让它发声，而后坐到电视机前看书，尽力不让自己抬头去看电视。起初的时候，你大概会被身旁晃动的人群以及高分贝的“混合声响”，又或者是电视里扣人心弦的演出弄得心烦意乱，无法踏入书本的世界。然而，倘若你迫使自己目光锐利得能洞察一切地凝视眼前所呈现的字词，对他人及其它事物全然漠视，达成即便天崩地裂也毫无惧色的状态，那么你的注意力便会逐步稳定地提升。

在经过不多的次数之后，你的专注能力将会攀升到90分的程度。当到达那个时候，你在看书之际或许就会如同我的大学同窗王雪平那般一动不动了，他可是我班级同学里最早出任海外大学正教授的。要是如此，我对你表示祝贺，意味着你已然具备了学好数学的一项必备条件。然而嘞，这并非是一个充分条件。故而你需要持续读下去。

王雪平在南京大学本科生宿舍，1980年左右。本图由作者提供

理解概念而不是背诵它

在历经长久的读书历程当中，我感悟到学好数学最为关键的法宝便是对概念的透彻精通，数学是以公理跟公设作为前提条件的，是以定义作为引领和开端的，是以逻辑当作工具的，会一步步推导出紧密环绕在被定义概念周边的各类命题，在这样的一个进程里面，推理的艺术是笼罩着一切方面的，所涉及到的概念是处在任何地方都存在的，所以，一旦碰到某一个概念的时候，就应当在脑海之中浮现出关于它的明晰图像。

既是概念这般关键，为何好多学生却没将其当回事呢？缘由之一可能是，背诵定义相较于理解定义更简便、更省事。优质教科书中的数学定义，表述极为明晰，也很精简，就是毫无多余话语，每个字都具作用。然而要彻底领会复杂定义的深意，并非轻而易举之事，这得持续地冥思苦想、费尽心思。

去查验自身是不是确实弄明白了一个定义，有一种巧妙的办法，那就是责令自己去写出当该定义不被满足的时候的一句陈述。要是写不出来的话，大概距离真正理解这个定义是还有一段距离的。

在这里举一个例子，假定读者学过 “ε - δ” 语言的极限定义，让我们先来回顾一番这个定义，我们讲函数f当x趋向于a时的极限是L，要是任给正数ε，就存在正数δ，致使当处于f的定义域内的x满足不等式0。

这是关乎一种性质未成立的表述，当此性质相对简单时，否定的表述一样易于理解，比如说，“我是一名求学之人”的否定陈述即为“我并非一名求学之人”，然而，对于一个涵盖了“任意给予”、“有所存在”、“当……便”等词汇及短语的繁杂定义，其否定语句就不是那么容易应对的，这得启动我们头脑中的所有逻辑思维工具，挥动分析的利刃方可达成这，方可办到。

许多人学数学时存在一大障碍，那就是只求记忆、不肯思考。一些同学早已把上述的极限定义背得滚瓜烂熟，然而却还是俘获不了对方的芳心，一做起稍有挑战性的极限题就坠入迷雾之中。尤其在需要证明极限不存在的场合，就更加不知所措了。

费恩曼读书法

确实，存在些人是有着愿意去思考的情况的，然而，或许是因为某些不容易进行控制的、属于内在的或者是外来的因素，面对复杂的定义以及艰深的证明，一下子是难以做到理解的。在这样的时候，耐心就发挥起了关键的作用。

这里，我们不妨去借用，美国物理学家，那个费恩曼，在他23岁的时候，给其14岁妹妹的读书指导，那就是，“你要从头去读，试着尽量往下读，一直到你一窍不通之时，再从头开展，再度开始。如此这般坚持往下阅读，一直到你全能读懂了为止。”这个办法是行之有效的，是最适于那些希望无师自通的自学者们去采用的。

美国理论物理学家理查德·费恩曼。图片来源：

求学的时候，因为我的理解力还算可以，再加上读书的时候挺专心。所以学习效率并非很低，这样就有精力大量阅读参考书或者与课程没关联的课外书籍。我的读书方式实际上依照的就是费恩曼的读书法，虽说那时我并不知道他是什么样的人。一旦我读到某个地方被难住了，就晓得我对之前书中提到的新概念存在问题，于是我就返回到前面该读的地方再读一回。这种反复阅读的来回折腾，我不但没觉得枯燥无趣，反倒越读越兴致勃勃，只因每次读都会有新的理解、新的收获。

大学阶段时，我所读过的那些、诸如匈牙利人黎茨 ( Riesz) 与塞可佛尔维-纳吉 (Béla Szö-Nagy) 的名著《泛函分析讲义》( )之类的参考书或者课外书，全都是这般渐渐地往下啃读的。直至研究生阶段，自由可支配的时间更为充裕，我也心甘情愿地广泛去阅读专业基础书籍以及研究参考书。在南大攻读硕士研究生期间，我们几个同窗学友阅读了颇具深度的《凸分析》( )。

我坚信，我大学同学里，那些分析数学学得颇为扎实的人，必然和费恩曼有着“英雄所见略同”的情况，那就是在读书之际，一旦遭遇不懂的地方，便立刻从头开始，进而逐步推进，最终将整章整节全部攻克。

看懂定理的证明

数学被说成是一门“证明的科学”，从某种意义来讲，学会证明就等同于学好数学。对数学生而言，不懂命题的证明近乎是“耻辱”。所以约克教授曾强调，理解重要定理证明的每一步比理解定理本身更重要。

但是如何看懂定理的证明呢？前文提到的约克教授是这么说的：

学生，甚至教授，要尝试去理解证明里的关键思想，并且最好能够找到两个关键的想法，这些关键思路不一定非得是以“引理”的面貌呈现出来，因为书中可能指出了太多看似正确实则不然的关键线索，其实关键思想往往是会让学生感到大为惊讶的那个，从而不同的人会在一个证明中挑出不同的关键想法，它们是提升我们理解力的关键要素，一个关键的点子或许会有复杂的证明，所以学生们应该在这个过程当中发现两个关键的思想。

约克教授说起了初等微积分之中的“介值定理”，其几何意义就连小学生都能够明白：把连接一条直线两边各一点的一条不间断的曲线必然要穿过这根直线。该定理正式的数学陈述是：要是f是一个定义在区间上的取实数值的连续函数，那么对于处于函数值f(a)与f(b)之间的任何一个数d，存在中的一点c，致使f(c)=d。证明它的第一个想法是，借助区间的中点把区间一分为二，得出两个子区间，长度都是原区间的一半。数字d必然处于函数在两个子区间其中之一的两个端点处的值之间，借由该性质确定的那个子区间会替代原先的区间，第二个想法是，再三运用上面那个平分区间的想法，且维持数d始终处于区间两端点的函数值之间这个性质，便能得到每次长度缩减一半、前面套住后面的一个无穷的闭区间序列，这些区间最终会趋向于一个点c，依据假设f是一个连续函数，所以该点c肯定满足等式f(c)=d，上述两个想法就是证明介值定理所需的关键步骤。

2015年，从左边开始，依次是James Yorke，接下来是李天岩，然后是丁玖。此图由作者予以提供。

在我读博士的那几年间，导师李天岩教授所指导的博士生始终坚持每周举办一次讨论班。他对于我们报告他人论文提出的基本要求是，“我不想听你们那种一般性的证明，麻烦给我证明特殊的情形。”通常来讲，一般结论背后所蕴含的思想往往会在特殊情形里展现得更为生动形象。任何抽象数学定理最初的想法往往源自某个具体的数学对象，接着进一步的思索便能够激发对有用性质的抽象化进程，最终促使“一个定理的诞生”。而这最后七个字正是菲尔兹奖获得者维拉尼的一本数学畅销书籍的书名。那种阅读定理证明直奔思想腹地的探索行为，让我们终生受益。

塞德里克·维拉尼著《一个定理的诞生》

科学地做题

学数学，一个关键步骤是做习题，然而却绝非做得越多便越好。我的大学同班同学，也就是中科院院士田刚，他读本科那会做了将近两万道习题，可是如今他接受采访时，也并不鼓励学数学的大学生做习题像他以前那样。

实际上，当下在中国，数学题做得最多的恰是中小学生，而其唯一目的便是为了高考。学习简单的初等数学竟耗费了那般大的力气，仿佛杀只鸡却动用了牛刀。中国高中生做的数学题数量大概是美国高中生的几十倍，然而无可否认的是，最终成为杰出数学家的美国人数量远远多于中国人。这其中的原因是什么呢？就在于中国学生做题是为了提高高考数学题目的命中率，而美国学生做题是为了巩固概念并且助力“推陈出新”。

那么，究竟怎样做题才能够算得上是“以科学的方式去做题”呢？首先呀，鉴于学好数学具备着最为根本的要旨在于掌握概念，故而当概念处于不清楚的状况之时，就不要着急忙慌地去忙着做题。在我所在的班级当中，那些擅长做题的人，下了课后都是神情从容不迫地先把定义、定理弄得完全清晰、毫无差错，之后才着手开始做题，如此一来又进一步加深了对概念的理解。

堪称优良的教科书所罗列的习题，除去一部分是环绕概念或者运用定理的“常规题目”之外，另外有着一批是如同为锦缎增添光彩般极具挑战性的优质题目。有的书籍索性把具备提高性质的某些关键命题放置于此向读者发起挑战，要求予以证明。应当勇于尝试这类题目，而不是去做过多几乎无需开动脑筋的“概念题”，这才是提升数学品味的最佳路径。苏联人吉米多维奇那本经典的《数学分析习题集》里所含的5000道题目中大概存在四分之一左右的难题。我大学时候一起学习的同学田刚，何炳生，张砚凝，钱迈建，魏木生这些人，是经攻克这些困难问题，从而一步步练出分析数学的真正本领的。

正确对待考试

似乎“学生怕考试”是那雷打不动的事实，我在美国教书的班上，有些学生一到考试前，就总是想方设法地打听考试范围，巴望着我把考题事先告知他们，每当这时，我总会忆起当年念大学时的情景，教我们《数学分析》的倪进老师考试前常讲，“我真的不晓得该如何为你们复习，我没办法从头到尾再讲一遍，你们自行复习吧”，于是我们只得自己复习迎考。

如何进行复习呢，那情形就如同“八仙过海各显神通”一般。存在这样一些人，他们会将做过的习题再次去做一遍，那些忘掉的证明或者解法，在这个时候能够重新在脑海中呈现出来。而对于我来讲，最好的复习途径是，端正地坐着，双手捧着教材，逐字逐句地从开头到结尾把它阅读完，如此一来，重温了定义，巩固了概念，理清了疑难之处，完成了相应的任务。然而我明白，总归会有比我考得更好的人，总归会有比我交卷更早的人。这是并不稀奇的，因为一分耕耘才会有一分收获。就考试来讲，只要不是智商处于较低水平，只要肯在其上投入更多的时间精力，只要复习的方式方法是恰当合适的，那么对于任何一个人而言，去考出一个令人满意的分数都不会成为一个存在困难的问题。

考试所取得的成绩，无疑是具备举足轻重的重要性的，一份出色的成绩单，作为被记录在案留存的学术过往内容，是能够使得自身在一生之中都体会到荣耀之感的。然而，就好比大学的排名榜单一样，依照那位出身为数学家的芝加哥大学校长博士的所言所述，只要是在排名所依据的那些特定指标之上投入更多精力去钻研，学校的排名便会得以提升，所以呢，美国的那些名牌大学对于排名基本上是不太予以重视在意的，仅仅只是依照自身所秉持的教育理念以及既定的方针策略，去着重强化学校的教学工作以及科研方面的投入。同理，要是一位读书的学生，过度看重考试成绩，却轻视通过博览群书实现的自我成长，那么基于考试成绩得出的第一第二，仅仅只是时间层面上的局部函数。而对于一名怀有远大理想的学子而言，其所考虑的应当是十年之后能够冒尖，亦或是二十年后能够铸就辉煌。

我略微有些庆幸，自己于大学时代没有始终坚持朝着成绩优异的同学去看齐，反而是顺着自身的感觉前行。失之东隅收之桑榆，这个成语道出了我的一回经历。在报考硕士研究生之前，好多同学不再修习第二外语，我依然坚持修完了第二外语德语，这必然会削减为迎考复习英文的时间。读了研究生以后，我通过了免修德语的考试，还修了俄语。抵达美国之后，密歇根州立大学数学系存在一项获取博士学位的必要条件，要从德语、法语、西班牙语以及俄语里挑选两门外语通过，中文自然未能入选。好在我于南大修过德语与俄语，关键时候它们发挥了作用。我迅速通过了这两门考试，躲开了再去修课及格通过的小困扰，还拿到了最高等级的助教奖学金。由于通过了博士学位所需的全部关卡，就只差一篇博士论文完成这项任务。

因而，学习跟婚姻相同，均为终身要事。于青少年时期培育喜好读书的习性以及阅读好书的格调，在课堂求知的若干年里，掌握如何学习，探寻到契合自身的读书方式，便能化被动为主动，唤醒书中文字的生机，使其舞动起来。如此一来，你的思维便会活跃起来，你的阅读愉悦之感将一直提升，你的人生阅历也愈发富有滋味了。

美国哈蒂斯堡

本文内容，主要源自，北京大学，2019年5月出版之，作者新书，《南大数学七七级》，其中第12章，《怎样学习》。