古代中国数学

中国古代数学

究竟有多牛逼

编者指出，本这一信息是：报告是依据林开亮博士，参与了由《知识就是力量》杂志社举办开展的——2016年度 “全国中学生数学/物理/化学科普竞赛”数学科普讲座的通俗报告《从杨辉三角到李善兰垛积术》，以及他在西北农林科技大学做的通俗报告《从高斯算1+2+3+...+100 谈起》而来。表达感激之情，感谢林老师给予授权【超级数学建模】进行发表。

高斯的故事

我们的故事从德国大数学家高斯（Gauss）讲起：

传说中的高斯解法：利用对称性首尾相加求和

事实上，高斯用的是数学归纳法；他证明了一个更一般的结果

阿基米德的故事

然而，高斯并非最早得出公式（1）之人，起码古希腊的阿基米德就已然知晓了（1），实际上，阿基米德还获取到了你所说的下述平方和求和公式。

流传至今的，有阿基米德的一句名言：给我一个支点，这个支点是在地球之外的，凭借它我能够翘起整个地球！

你在开门时、用钳子夹核桃就已经应用了这个杠杆原理！

阿基米德与高斯之间数学家：朱世杰

一个自然的问题是：

元代数学家朱世杰，是历史上第一个给出这类问题解法的，特别地，对于上述问题，他给出了答案。

我们要说的主人公是朱世杰，这比那最早在欧洲得到这个公式的德国数学家莱布尼茨，早了300多年。今年正好是莱布尼茨（1646－1716）辞世后的300周年。

我要讲的那个故事里的主人公是朱世杰，我们不但得讲讲他是怎样得出立方求和公式（3）的，还得讲讲他所用的方法（裂项求和）怎样能够求出一般情况下前n个数的p次方的和，也就是怎样得出这般的公式：

大家现在也许对朱世杰这个名字感到陌生，不过我期望在报告结束之后，你能有这样的认知，那就是，他处于古代最伟大数学家的行列之中。

朱世杰生活的大时代

世界

公元大约500至1400年的那段被称作中世纪（Ages）的漫长时期，其黑夜持续之久将近千年，期间具有代表性的事件，一方面是罗马帝国走向灭亡，另一方面则是文艺复兴的兴起。

中世纪时，数学最为辉煌的地域有中国，也就是宋元四大家所处之地，还有印度，即婆罗摩笈多所在之处，以及波斯，那边有海亚姆，另外还有意大利，斐波那契来自此地。

翻译传播希腊与印度的数学和科学。

中国

公元960年至1279年再至1368年这期间的宋元四百年，属于中国古代数学的黄金时期，有四位大数学家出现，被人们称作“宋元四大家”：

在南宋时期，有李冶，其生活于公元1192年至1279年，还有秦九韶，他的生存年代是公元1202年至1261年，另外还有杨辉，大概生活在公元1238年至1298年。

元：朱世杰（1249-1314）

四人皆有著作，成就了中国古代数学的最高峰

评注1：美国有名的科学史家萨顿，也就是G. ，其生活于1884年至1956年这个时间段，他讲过，秦九韶是“他所在的那个民族，以及他所处的那个时代里最为伟大的数学家当中的一员。”，而这样的评价，对于李冶以及朱世杰而言，同样是适用的。

评注2：在“宋元四大家”里，真正能够算得上 “大家” 的仅仅只有三位，分别是秦九韶、李冶以及朱世杰，然而杨辉主要是一位数学教育家，把他算入其中的话多多少少会有些牵强而另有说辞。此外，于这四人当中，我们对于杨辉的生平所知的情况也是最少的。宋元四大家。

1、宋元四大家之秦九韶

安岳（现今四川安岳县）出生的秦九韶，字为道古，是南宋之时的数学家以及担任官员者，其代表作含有《数书九章》这么一本书的18卷内容，（对此我表达遗憾之情，北师大版高中数学教材必修5的第51页竟然将其说成是《数学九章》）。

成就：

中国剩余定理，也就是秦九韶定理，它比西方的欧拉早500年，它包含在一种称作“大衍总数术”的巧妙算法里。

②高次方程的数值解法，比西方的霍纳早500年。

③海伦与秦九韶所提出的三角形面积公式（听闻该公式阿基米德同样知晓）。

2、宋元四大家之李冶

生于栾城县也就是现今河北之地的李冶，字是仁卿，身为南宋之际的数学家，同时还是天文学家以及历史学家，他有着进士的出身，此前拥有官职，之后归隐于封龙山去收徒并开展讲学活动。

著有《测圆海镜》、《益古演段》；

其有着这样的贡献，在于引入了一个名为“天元”的概念，此概念相当于“嫌疑人X”当中的未知数，还创立了一种利用未知数去建立方程的方法，也就是天元术，它为几何的代数化铺平了前行的道路。

此外，李冶独立地引进记号〇表示空位，秦九韶也独立地引进记号〇表示空位。至此，完善了中国十进制。

3、宋元四大家之杨辉

其人名为杨辉，其字乃是谦光，身处临安也就是现今的杭州之地，是南宋时期的数学家，还是数学教育家，还曾担任过地方官职。

著有《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》；

成就：

拓展壮大了沈括、贾宪所取得的数学成绩。对此，杨辉又是中国首位系统钻研幻方（Magic）的人士，最早的幻方同样发源自中国的洛书，其也称九宫格，它还现身于金庸的《射雕英雄传》里，请看下面这个视频：

①把沈括《梦溪笔谈》里的“隙积术”予以普及，就其作为特例而言，他不但给出了阿基米德的求和公式(2)，居然还给出了下述三角垛的求和公式。

被沈括、杨辉所思考的这类“堆垛”问题的拓展，以现代用语来讲就是“高阶等差数列的总计和”。此问题日后被朱世杰所创建的“垛积招差术”完全处理，他所凭借的工具之一乃是杨辉的另一项成果。

②从现已失传的贾宪的工作里，发掘出来二项式系数那种被今人称作“杨辉三角”的关系，这是因为它出现在杨辉所著的《详解九章算法》当中。而且西方把它叫做帕斯卡三角，实际上帕斯卡比杨辉要晚上将近400年。先后有好多数学家独立发现了这一结果，这都表明了，这是一项基本的发现。

杨辉三角最基本的性质是（杨辉恒等式）：

*维基百科中的帕斯卡三角：

4、宋元四大家之朱世杰

有一个人叫朱世杰，他字汉卿，是燕山那个地方也就是如今北京之人，身在元代，是数学家，也是教育家，其一生都在从事数学教育这项工作。

著有《算学启蒙》、《四元玉鉴》；

当代声名远扬的数学家，荣获中科院院士称号，于2000年摘得国家最高科学技术奖的吴文俊，对《四元玉鉴》给出了极高的评价，这本书象征着我国传统数学所达到的巅峰。

吴文俊在数学机械化方面所做的具有开创性的工作，是因为朱世杰在《四元玉鉴》里求解多元多项式方程组的工作，也就是“四元术”，还得益于20世纪美国数学家李特，即J. F. Ritt的工作。

成就：

因李冶的天元术被发展成了四元术，所以能用来求解多个未知数构成的多项式方程组。其中四元是四个未知数的称呼，分别叫做天、地、人、物。正是这一成果启发吴文俊开启了数学机械化的事宜。

先说小引，清代有个数学家李善兰，他把26个拉丁字母，依照顺序给翻译成了，十天干，那就分别是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，还有十二地支，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，甚至还有四元，也就是天、地、人、物，结果呢，天、地、人、物刚好对应上了w、x、y、z，而这几个字母常常被用来去表示未知数。

于干支纪年里，此年（2016）是何年，提示一下，你可还记得甲午战争是在哪一年，再问一下，你有没有看过这个段子？

让子弹飞：炸在辛亥这个地方了！

阿基米德出生于公元前287年，朱世杰出生于1249年，高斯出生于1777年。据说依据中国人的十二生肖，他们的属相是相同的。请问，事实是这样的吗，如果是这样，阿基米德、朱世杰以及高斯都属于什么属相呢？

②对沈括、杨辉的“隙积”、“堆垛”术予以系统发展，从而得到“垛积术”的基本关系式，此关系式也就是现今所说的“朱世杰恒等式”，该等式乃阿基米德求和式（1）以及杨辉三角垛求和公式（2*）的自然推广。

于朱世杰恒等式（A）里面，将 p 设定为 1，再把 p 设定为 2，如此便能够得到阿基米德求和式（1），以及杨辉的三角垛求和公式（2*）。

用字母C是因为它是组合单词的首字母。

存在于“垛积”里的“垛”，它是高阶等差数列（高次多项式）所对应的几何事物，比如说“三角垛”，实际上它就是三角形数，进而回忆起阿基米德公式。

有各种各样的整数值多项式，从而有各种各样的垛状数（ )。

见维基百科：

所谓“垛积”这一说法里的“积”，实际上是有着“求和”之意，所以“垛积”所表达的意思，便是高阶等差数列的求和之事，“垛积术”的关键诀窍，乃是如今人们所说的“裂项求和”，而怎样去“裂项”，这是朱世杰的第3项成就，这属于本报告当中最为微妙的部分接下来需重点进行介绍。

③对元代郭守敬《授时历》里所运用的招差术予以完善，进而获得四阶等差数列的招差公式。以现代数学话语来讲，朱世杰的四阶招差公式等同于表明：要是f(n)是一个四次多项式，那么。

其中系数

它们依次是，f(n)于原点也就是n = 0这个位置处的0次差分，1次差分，2次差分，3次差分，4次差分。详细的计算能够依据差分表去求出来（参考陈景润所著的《组合数学》）。

举例：

因朱世杰完全把控这一算法，故而我们有依据推断，他实际上获致了任意次数的多项式的招差公式，此项成果在西方最早是由三百多年之后的英国数学家格里高利与牛顿分别达成的。然而牛顿的同国人泰勒在牛顿差分公式的基础上更进而行（取极限）从而得出了微积分的基本成果（泰勒定理）。中国未产生微积分。朱世杰的招差术属于离散的微分，朱世杰的垛积术属于离散的积分，所以我们在此所讲的便是离散的微积分。它与连续的微积分仅一步之遥。

具备了招差术以及垛积术之后，高阶等差数列而言（此高阶等差数列中，p阶等差数列的通项公式即为p次多项式f(n)），其求和之事便自然而然地达成了。举例来说，依据先前得出的结果，能够求得以前n个数的四次方和公式。

处于相同情形的朱世杰，恰恰是运用了同样的方式，从而寻求到了前n个数的立方和公式（3），而后遗留给了存有兴趣的读者。

绝对得动手去做，光凭借看书并听讲断不能把数学学会，在动笔进行计算以后，印象会更为深刻，数学家最为重要的两样必备东西叫做笔和纸。

相像的，能够想象得出，朱世杰的那个“垛积招差术”，是具备解决普通的，p次幂求取总和的能力的。

在这个问题上，朱世杰本人未曾予以考虑，将之遗留给了清代的李善兰。然而，在此之前，西方人里像费马这般的人物，已然把这个问题加以解决，原因在于他们对幂函数在上的面积有所需求。该公式被称作福尔哈伯公式（’s）。20世纪时大数学家西格尔（)曾如此表述：首个发现此公式的人（有可能是11世纪的埃及数学家海塞姆）必定讨得了上帝的欢心(It the dear Lord.)。

起始说明：普遍会运用字母 p 去表示幂次数，其缘由在于幂的英文乃是 power 成幂函数(power )，而杨幂等同于杨平方。

秦九韶、李冶、朱世杰之比较

南秦北李一时瑜亮，相得益彰

《数书九章》为秦九韶所著，《测圆海镜》是李冶所写，这两部著作几乎是在同一时间完成的，竟然还都彼此一致地引入了记号〇，然而他们却从没有提及过对方所做的工作，或许他们压根就不认识彼此。实际上，他们各自归属于两个相互敌对的王朝，秦九韶与李冶二人所做的工作，像是求解方程以及建立方程，是相互补充的，彼此交相辉映。这二者合起来，恰恰就是中国古代数学黄金时代的标志。

朱世杰集众家之大成后来居上

和宋代的秦氏、李氏、杨氏不一样，朱世杰一辈子没有踏入仕途，凭借数学名家的身份在湖海各地游历二十多年，吸纳并且发展了秦氏、李氏、杨氏、郭氏的成果。他的成果大致能用丘成桐先生的一副楹联来描述：

地有南北，无疆域始成大业；

学无先后，有德才方是贤人。

道古桥的故事

当前时代的数学家蔡天新身为秦九韶的超级粉丝，先前他“突发奇想”，向杭州市政府提议并督促其将纪念秦九韶的道古桥进行复名立碑。该条建议随后被采纳，同时还邀请了身为数学家的王元（华罗庚的徒弟）题写桥名。这恰是七百多年以前的一则数学方面的美好故事的回声：

公元1238年，秦九韶返回临安遭遇父亲丧事，看到河面上没有桥梁，致使两岸民众来往极为不便，于是他亲自进行设计，而后依靠朋友从府库取得银两予以资助，在西溪河之上建造了一座桥。桥建成之后，起初并没有名字，由于桥是修建在西溪河上，按照惯例被称作“西溪桥”。一直到元代初期，另一位身为大数学家、四处游历的北方人朱世杰抵达杭州，这才提议把“西溪桥”改名为“道古桥”，目的是为了怀念造桥之人、他所敬重的前辈数学家秦九韶，并且亲自把桥名镌刻在桥头。

有一座桥叫道古桥，因秦九韶、因朱世杰、因王元和蔡天新，它摇身一变成为了充满故事的桥。这座桥一开始仅仅是横跨于西溪之上。然而现在呢 ，它已然纵贯了古今 ，把前后历经七八百年的数学家给连接了起来 ，成为了数学史和数学文化方面的活字碑。

蔡天新教授在道古桥边留影（蔡天新教授提供）

数学在中国与西方地位之不同

在中国古代，数学未为受到重视，其中有着深刻的社会文化方面的因素，丘成桐先生在他名为《数学和中国文学的比较》的那篇文章里，有着透辟的分析。

从古至今，中国儒家把数学置于六艺末尾，它仅是一门起辅助作用的学问 ，当政者（更别提普通人）将其视作微不足道的技艺 ，和文学比较 ，其连歌颂朝廷的功能都不存在 ，政府对数学的重视直至近代才有着极大的改善。

对于西方而言情况并非如此，希腊这里哲学把数学当作万学的根基，柏拉图将通晓几何作为进入其门槛的必须具备的先决条件，如此一来数学家占据着崇高的地位，数学从而在西方蓬勃地历经两千多年时间发展了。

鲁豫有约：数学家的艺术人生

宋元之后的数学

明朝数学

在宋元过后，数学呈现出了衰微的状态。然而明朝却存有两件事情，这两件事情对于数学的发展具备重要的影响，格外值得去提及一下。

⑴、《永乐大典》进行了编撰，其成书达11095册，被称作“世界有史以来规模最大的百科全书”，借此宋元时代以及更早的数学著作得以保存，然而可惜的是，《永乐大典》留存并不完整，现今除了大陆和台岛之外，像日本、美国、英国、德国、越南、韩国这些其他地方居然都非法占有。而我们所展示的杨辉三角乃是取自英国剑桥大学图书馆所收藏的一册《永乐大典》（在此感谢中科院数学所李文林教授）。

⑵、意大利传教士利玛窦（Ricci）到北京的时间是1600年，他跟徐光启一起合译了欧几里得《几何原本》的前六卷，这成为西方数学传入中国的起始点。利玛窦（心思并非单纯在此）目的在于传教，所以仅仅配合徐光启翻译了前六卷。200多年过后，后续的九卷是由李善兰和英国人伟烈亚力（Wylie）合作翻译完成的。

清朝数学

在咱们中国的历史当中，存在着三位帝王表现出对科学产生了兴味，可以列举出来的是，北宋时期的仁宗赵祯，还有元世祖忽必烈，并对李冶予以了礼遇，再者就是清康熙皇帝不过呢，要是说到对数学最为怀有兴趣的，那首先推举的便是康熙。

以世界的视角予以审视，存在俄国彼得大帝那位，法兰西帝国起始称帝的拿破仑，新加坡当下任职总理的李显龙，以及中国国家副主席李源潮。

莱布尼兹曾给彼得大帝和康熙大帝写亲笔信，建议成立科学院。

彼得极具眼光，于圣彼得堡创建了科学院，还邀请欧拉前来此地工作，俄国的数学竟一下子推进了好多百年。彼得责令臣子通通学习数学，说道：“老子都能够学会，你们都必须给老子学会！”。

康熙学数学，还要求臣子学，他是这样说的：“瞧你们这般蠢笨，这东西唯有朕能学会！”他不过是想借此显摆自己聪慧高人一筹罢了，压根就没想着要将数学当作一门学问、一股动力去加以发展。

康熙学那数学的故事，我谈不上是权威，所以只能简略说到此为止。最近牛津大学出版了一本专门讲述这故事的专著，专著的作者是Jami，Jami的中文名叫做詹嘉玲。

有个特点属于清朝的历史，从康熙过渡到雍正，这个过程非常激荡剧烈，正史好像没有交代得明白，然而这在曹雪芹所著的《红楼梦》一书中有深刻反映。

在雍正元年也就是 1723 年的时候，雍正下达命令把西洋传教士驱赶至澳门，从这之后的一百多来年，西方数学的传入处于中断状态。

乾隆三十八年，也就是1773年的时候，朝廷方面将编辑《四库全书》这件事组织起来，同时还进行辑录《永乐大典》之举，就在这个过程当中，发觉了像杨辉、秦九韶、朱世杰、李冶这样宋元时期数学家所著的有名书籍，由此掀起了针对古典数学进行研究的高潮。在此期间，出现了许多具备创造性的工作，其中特别值得提及的便是李善兰。

李善兰，出生于1811年，逝世于1882年，是浙江海宁人，是清代时期的数学家，也是数学教育家。他所具有的突出贡献在于对朱世杰的“垛积术”进行了继承，并且予以了发展，而这一成果总结在了他的四卷本著作《垛积比类》当中。格外特别的是，他提出了一个全新的组合恒等式，在之后被后人称作李善兰恒等式。对于有兴趣的读者而言，可以去查看华罗庚所著的小册子《数学归纳法》，或者是我本人发布在善科网上的小文章：林开亮：谁人最爱李善兰？

作为19世纪“极客”的李善兰

美国计算机科学家、数学家高德纳（D.E.Knuth），是1974年图灵奖获得者，乃计算机算法和程序设计技术的先驱，著有被称作编程圣经的《计算机程序设计艺术》。他在2014年的一次访谈里提到了李善兰，将李善兰与历史上的好多位大数学家一同列为19世纪的“极客”同行。

我的解释对象是极客，它源自美国俚语“geek”的音译。伴随互联网文化的兴起 ，这个词具备智力超群以及努力的语意 ，还可用于形容对计算机与网络技术有着狂热兴趣且投入大量时间加以钻研的人。世界人口中的一小部分人获取了一种特殊思维方式 ，我恰好处于这部分人当中。为求简单 ，我把像我这类的人称作“极客” ，他们大约占据世界人口的2%。

那么，在19世纪早期的极客都处在什么范围啊？我觉得，那些在1814年以前出生被普遍当作数学家角色的极客，有阿贝尔这人（他是生于1802 年份的），还有雅可比（出生于1804 年）、哈密尔顿（其出生年份为1805 年）、柯克曼（他是1806 年出生的）、德·摩根（1806 年降临于世的）、刘维尔（诞生于1809 年）、库默尔（生成于1810 年）以及来自中国的李善兰（在1811 年呱呱坠地）。我所罗列出来的这些被称为“数学家”的著作，让我心里充满着迷之感。那些于1814年之后出生的极客当中，有卡特兰，其出生于1814年，还有西尔维斯特，同样出生于1814年，布尔是1815年出生的，维尔斯特拉斯也是1815年的，以及博尔夏特，出生于1817年。要是幸运的话，针对他们这样的人，我会乐意与之相伴为伍，我或许也会去做和他们所做之事相类似的事儿。

提及一下，我觉得在历史当中，第一个被归为“百分之百极客”的是图灵，也就是电影《模仿游戏》主人公的原型。他家有好多前辈，极客症状特别明显，不过图灵才算是彻彻底底地“极客”化了。

作为翻译家的李善兰

之前我们讲过李善兰的翻译之事，比如说他跟伟烈亚力一起翻译了欧几里得《几何原本》的后九卷，他俩还共同翻译了德·摩根的《代数学》，美国数学家罗密士（E.）的微积分著作《代微积拾级》，也和伟烈亚力、傅兰雅（J. Fryer）翻译了牛顿（）的《自然哲学之数学原理》。

李善兰对一些科学名词的翻译予以了确立，像微积分里的微分（）、积分（）、函数（），还有我们如今所讲的与之对应的离散概念，即差分（）、求和（）、数列（）。

推荐读物

1. 蔡天新《数学传奇》商务印书馆    2016

（他的新浪博客、他在“爱课程网”上的同名公开课视频）

2.华罗庚《从杨辉三角谈起》、《数学归纳法》

3. 陈景润《组合数学》

4.贝尔《数学大师：从芝诺到庞加莱》

5. 库克《当代大数学家画传》，林开亮等译

6. 柯朗、罗宾，《什么是数学？》

7. 波利亚，《怎样解题》

8. 丘成桐，“数学与人文”丛书，《大宇之形》

9.I. M. 自述，见 数学纵贯线，

林开亮，《微积分之前奏（或变奏）：高阶等差数列的求和内容》，于《数学传播》，在2017年第1期，此期刊登的内容为61至79页。

11. 吕埃勒所著的《数学与人类思维》，由林开亮、王兢、张海涛共同翻译，最后的思考题。

求出下列算式的和；进一步，你可以将结果推广吗？

这份报告着重突出的并非仅仅是技巧，而是一种方法。那么，方法跟技巧之间的差别究竟在何处呢？数学家波利亚（G. Polya）针对此有着精妙的见解：

方法与技巧的差别在哪里：方法就是放之四海而皆准的技巧。

石家庄站报告中的提问

问题1：为什么要把

写成更复杂的形式？

答：

上述的那种分解，主要是出于求和便利的目的，依据朱世杰恒等式，从上面那个式子能够马上推导出求和式(4)。

这个方法在精神上跟曹冲称象的故事很接近，

这跟一头大象的情况类似，直接去称它的重量的话，是不太容易称的呀，所以呢，我们进行了分解的操作，如此一来，每一个部分就变得好称了，进而通过各个部分分别去处理，问题也就能够得到解决了。

所以，

那么写看起来是弄复杂了，其实每一部分都更简单了。

问题2：请老师给讲一讲导数的概念

答：导数的概念相当微妙，其理解得借助一个更为基本的概念，也就是极限。于是乎，我着重去解释一下极限的概念，当理解了极限之后，导数理解起来就会变得容易起来了。

举例来自非诚勿扰，比如说，幸福乃一种理想情形，可怎样才算是幸福呢？若是你能够忍受诸多微小的不幸福，如此即为幸福了。

极限概念之微妙，以及其导数概念之微妙，可与爱情相提并论，数学它处于这般状态里呢，就如同爱情，是一种想法，然而它能够搞得很复杂！

最新科普书：《爱与数学》Love and Math

请问，问题3，（是被某位孩子家长代替那个没办法前来听讲座的孩子进行询问的），最后那个思考题的答案究竟是什么呢？它跟明天即将举行的考试有没有相当密切的关系呀？

答，究竟具体的答案我无法去说，这乃是留给学生的问题，意在让其深入思考，实际上刚才有同学已然想到了答案。而此问题与明天的考试不见得存在关联，然而思考一番会有着诸多益处。

这里我所传授的并非仅仅只是知识，更为关键重要的是一种考虑问题时所运用的方法。我需要特别额外补充这么一句，学习数学的重点并非在于公式，并且实际上根本就不存在所谓万能的公式。然而却存在可以用来解决问题的万能方法：即trial and error（进行试探并纠错）。所以，首先先去尝试一下吧！

最后，我将杨振宁先生勉励年轻人的一句话转送给诸位：

初生牛犊不怕虎